商集

商集
术语名称	商集
英语名称	quotient set
别名	商集合, 商, quotient

商集(quotient set)指集合在一个等价关系下所有等价类的集合。是原集合的一个划分。

定义

商集
运算名称	商集
运算符号	[math]\displaystyle{ / }[/math]
Latex	/
运算对象	集合, 关系
运算元数	2
运算结果	集族

对集合 [math]\displaystyle{ S }[/math] ，及 [math]\displaystyle{ S }[/math] 上的等价关系 [math]\displaystyle{ \sim }[/math] ，记每个元素 [math]\displaystyle{ a\in S }[/math] 代表的等价类为 [math]\displaystyle{ [a] = \left\{ x\in S \mid a \sim x \right\} }[/math] ，则集合 [math]\displaystyle{ \left\{ [a] \mid a \in S \right\} }[/math] 是集合 [math]\displaystyle{ S }[/math] 的一个划分，称其为集合 [math]\displaystyle{ S }[/math] 关于等价关系 [math]\displaystyle{ \sim }[/math] 的商集合(quotient set)，简称商集或商(quotient)，记作 [math]\displaystyle{ S/\sim }[/math] 。

说明：

• [math]\displaystyle{ S/\sim =\left \{ [a] \mid a \in S \right\}, [a] = \left\{ x\in S \mid a \sim x \right\} }[/math]
• 商集是集合对等价关系的商。原集合被等价关系划分成若干等价类，再将这些等价类本身视为新的元素，从而构成一个新的集合。这一过程中，等价的元素被自然映射（或称典范投影）抽象到同一个等价类。

等价关系
等价	划分
结构	等价类、setoid、商集、自然映射

集合
特殊集合	空集 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、全集
关系	成员关系/属于 [math]\displaystyle{ \in }[/math]
	包含关系/子集/超集 [math]\displaystyle{ \subseteq }[/math]、真包含关系/真子集/真超集 [math]\displaystyle{ \subset }[/math]、相等关系 [math]\displaystyle{ = }[/math]
运算	基础运算	交集 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并集 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补集 [math]\displaystyle{ \bullet^\complement }[/math]（差集 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]）
	复合运算	对称差集 [math]\displaystyle{ \triangle }[/math]
	笛卡尔积运算	笛卡尔积 [math]\displaystyle{ \times }[/math]、笛卡尔幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]、幂集 [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(\bullet) }[/math]/[math]\displaystyle{ 2^\bullet }[/math]、映射的集合 [math]\displaystyle{ \bullet^\bullet }[/math]
	不交并运算	不相交并集 [math]\displaystyle{ \sqcup }[/math]
	商运算	商集 [math]\displaystyle{ \bullet/\sim }[/math]