查看“︁四阶循环群”︁的源代码

[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=四阶循环群
|eng_name=cyclic group of order 4
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|name=四阶循环群
|type=群
|symbol=<math>C_4</math>
|latex=C_4
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{{#seo:
|keywords=四阶循环群
|description=四元素集上构成群的二元运算在同构意义下存在两种，其中的循环群一般称为四阶循环群。
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|published_time=2024-10-11
}}
含有四个元素的[[循环群]] <math>C_4</math> 。

== 举例 ==

* 4 阶循环群。正方形绕中心旋转，不动、 <math>\tfrac{1}{4}</math> 周、 <math>\tfrac{1}{2}</math> 周、 <math>\tfrac{3}{4}</math> 周。
* [[模 n 剩余类加法群|模 4 加法群]] <math>\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}</math> 。
* <math>\{\pm1, \pm\mathrm{i}\}</math> 上的乘法群。

== 刻画 ==

四阶循环群中有四个元素：

* 幺元是某元素 <math>e</math> ，对应的操作是恒等操作“不变”；
* 另三个是非幺元，其中有至少一个（实际一定为 2 个）四阶元在 4 次幂时回归幺元，可表示为 <math>g, g^2, g^3, g^4=e</math> 。

=== Cayley 表 ===

四阶循环群的 [[Cayley 表]]如下所示：

<math>
\begin{array}{c|ccc}
\cdot & e & g & g^2 & g^3 \\ \hline
e & e & g & g^2 & g^3 \\
g & g & g^2 & g^3 & e \\
g^2 & g^2 & g^3 & e & g \\
g^3 & g^3 & e & g & g^2 \\
\end{array}
</math>

可以按照旋转循环形式可视化为：

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ <math>C_4</math> 群表
|-
! 复合
! 恒等变换 <br/> <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c4_e}}
! 1/4周旋转 <br/> <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c4_x}}
! 1/2周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c4_x2}}
! 3/4周旋转 <br/> <math>r^3</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c4_x3}}
|-
! 恒等变换 <br/> <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c4_e}}
| 恒等变换 <br/> <math>i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c4_e}}
| 1/4周旋转 <br/> <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c4_x}}
| 1/2周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c4_x2}}
| 3/4周旋转 <br/> <math>r^3</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c4_x3}}
|-
! 1/4周旋转 <br/> <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c4_x}}
| 1/4周旋转 <br/> <math>r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c4_x}}
| 1/2周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c4_x2}}
| 3/4周旋转 <br/> <math>r^3</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c4_x3}}
| 恒等变换 <br/> <math>r^4=i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c4_x4}}
|-
! 1/2周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c4_x2}}
| 1/2周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c4_x2}}
| 3/4周旋转 <br/> <math>r^3</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c4_x3}}
| 恒等变换 <br/> <math>r^4 = i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c4_x4}}
| 1/4周旋转 <br/> <math>r^5=r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c4_x5}}
|-
! 3/4周旋转 <br/> <math>r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c4_x2}}
| 3/4周旋转 <br/> <math>r^3</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c4_x3}}
| 恒等变换 <br/> <math>r^4 = i</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c4_x4}}
| 1/4周旋转 <br/> <math>r^5=r</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c4_x5}}
| 1/2周旋转 <br/> <math>r^6=r^2</math> <br/> {{GiteaSvg|groups/c4_x6}}
|}

=== Cayley 图 ===

是一个循环群，阶为 4 。

{{GiteaSvg|groups/c4_graph}}

=== 群表示 ===

四阶循环群的[[群表示]]为 <math>\langle x \mid x^4 \rangle</math> 。

== 性质 ==

* 群
** 四阶群中，幺元以外，有两个元素 <math>g, g^3</math> 是四阶的，一个元素 <math>g^2</math> 是二阶的。
** 两个四阶元的逆元都是对方，而二阶元的逆是自身。<br/><math>g^4 = e \Rightarrow g^{-1}=g^3, g^{-2}=g^2, g^{-3}=g</math> 。
** 是交换群。
* 子群结构
** [[子群]]分布：除平凡子群外，还有一个[[二阶群|二阶]]子群 <math>\{e, g^2\}</math> 。子群格有 <math>4-2-1</math> 的结构。
** [[正规子群]]：交换群的子群都是正规子群，以上三个子群均正规。
** [[商群]]：平凡子群的商仍是平凡子群。考虑二阶的非平凡子群，对其的商也是 <math>C_2</math> 。因此 <math>C_4</math> 是 <math>C_2</math> 通过 <math>C_2</math> 的一个[[群扩张]]；但它是一个非分裂扩张，不是[[群半直积]]形式。
* 自同态结构
** 有四个[[群自同态|自同态]]：[[恒等映射|恒等同态]] <math>\mathrm{id}_{C_3}: g\mapsto g</math> 、[[平凡同态]] <math>g\mapsto e_{C_2}</math> ，此外还有一个立方映射 <math>g\mapsto g^3 = g^{-1}</math> 把每个元素映射到其逆元，平方映射 <math>g\mapsto g^2</math> 映射到其中两个元素。
** 有两个[[群自同构|自同构]]：恒等映射、立方映射。作为群同构，在保持双射且把幺元映射到幺元的同时，前者保持剩余三个元素不变，后者反向对立剩余三个元素，刚好是 2 次对称群中的两个操作。 <math>\mathrm{Aut}(C_4)\cong C_2</math> 。


{{小阶数群}}