四阶循环群
| 四阶循环群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 四阶循环群 |
| 英语名称 | cyclic group of order 4 |
| 四阶循环群 | |
|---|---|
| 对象名称 | 四阶循环群 |
| 对象记号 | [math]\displaystyle{ C_4 }[/math] |
| Latex | C_4
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| 对象类别 | 群 |
含有四个元素的循环群 [math]\displaystyle{ C_4 }[/math] 。
举例
- 4 阶循环群。正方形绕中心旋转，不动、 [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{4} }[/math] 周、 [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2} }[/math] 周、 [math]\displaystyle{ \tfrac{3}{4} }[/math] 周。
- 模 4 加法群 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} }[/math] 。
- [math]\displaystyle{ \{\pm1, \pm\mathrm{i}\} }[/math] 上的乘法群。
刻画
四阶循环群中有四个元素：
- 幺元是某元素 [math]\displaystyle{ e }[/math] ，对应的操作是恒等操作“不变”；
- 另三个是非幺元，其中有至少一个（实际一定为 2 个）四阶元在 4 次幂时回归幺元，可表示为 [math]\displaystyle{ g, g^2, g^3, g^4=e }[/math] 。
Cayley 表
四阶循环群的 Cayley 表如下所示：
[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|ccc} \cdot & e & g & g^2 & g^3 \\ \hline e & e & g & g^2 & g^3 \\ g & g & g^2 & g^3 & e \\ g^2 & g^2 & g^3 & e & g \\ g^3 & g^3 & e & g & g^2 \\ \end{array} }[/math]
可以按照旋转循环形式可视化为：
| 复合 | 恒等变换 [math]\displaystyle{ i }[/math] 
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1/4周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math] 
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1/2周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math] 
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3/4周旋转 [math]\displaystyle{ r^3 }[/math] 
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|---|---|---|---|---|
| 恒等变换 [math]\displaystyle{ i }[/math]
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恒等变换 [math]\displaystyle{ i }[/math]
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1/4周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math]
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1/2周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math]
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3/4周旋转 [math]\displaystyle{ r^3 }[/math]
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| 1/4周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math]
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1/4周旋转 [math]\displaystyle{ r }[/math]
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1/2周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math]
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3/4周旋转 [math]\displaystyle{ r^3 }[/math]
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恒等变换 [math]\displaystyle{ r^4=i }[/math] 
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| 1/2周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math]
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1/2周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math]
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3/4周旋转 [math]\displaystyle{ r^3 }[/math]
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恒等变换 [math]\displaystyle{ r^4 = i }[/math]
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1/4周旋转 [math]\displaystyle{ r^5=r }[/math] 
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| 3/4周旋转 [math]\displaystyle{ r^2 }[/math]
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3/4周旋转 [math]\displaystyle{ r^3 }[/math]
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恒等变换 [math]\displaystyle{ r^4 = i }[/math]
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1/4周旋转 [math]\displaystyle{ r^5=r }[/math]
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1/2周旋转 [math]\displaystyle{ r^6=r^2 }[/math] 
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Cayley 图
是一个循环群，阶为 4 。
群表示
四阶循环群的群表示为 [math]\displaystyle{ \langle x \mid x^4 \rangle }[/math] 。
性质
- 群
- 四阶群中，幺元以外，有两个元素 [math]\displaystyle{ g, g^3 }[/math] 是四阶的，一个元素 [math]\displaystyle{ g^2 }[/math] 是二阶的。
- 两个四阶元的逆元都是对方，而二阶元的逆是自身。
[math]\displaystyle{ g^4 = e \Rightarrow g^{-1}=g^3, g^{-2}=g^2, g^{-3}=g }[/math] 。 - 是交换群。
- 子群结构
- 子群分布：除平凡子群外，还有一个二阶子群 [math]\displaystyle{ \{e, g^2\} }[/math] 。子群格有 [math]\displaystyle{ 4-2-1 }[/math] 的结构。
- 正规子群：交换群的子群都是正规子群，以上三个子群均正规。
- 商群：平凡子群的商仍是平凡子群。考虑二阶的非平凡子群，对其的商也是 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] 。因此 [math]\displaystyle{ C_4 }[/math] 是 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] 通过 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] 的一个群扩张；但它是一个非分裂扩张，不是群半直积形式。
- 自同态结构
- 有四个自同态：恒等同态 [math]\displaystyle{ \mathrm{id}_{C_3}: g\mapsto g }[/math] 、平凡同态 [math]\displaystyle{ g\mapsto e_{C_2} }[/math] ，此外还有一个立方映射 [math]\displaystyle{ g\mapsto g^3 = g^{-1} }[/math] 把每个元素映射到其逆元，平方映射 [math]\displaystyle{ g\mapsto g^2 }[/math] 映射到其中两个元素。
- 有两个自同构：恒等映射、立方映射。作为群同构，在保持双射且把幺元映射到幺元的同时，前者保持剩余三个元素不变，后者反向对立剩余三个元素，刚好是 2 次对称群中的两个操作。 [math]\displaystyle{ \mathrm{Aut}(C_4)\cong C_2 }[/math] 。
| 小群 | |
|---|---|
| 1 | 平凡群 [math]\displaystyle{ \{e\} }[/math] |
| 2 | 二阶循环群 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] |
| 3 | 三阶循环群 [math]\displaystyle{ C_3 }[/math] |
| 4 | 四阶循环群 [math]\displaystyle{ C_4 }[/math]、Klein 四元群 [math]\displaystyle{ V }[/math] / [math]\displaystyle{ K_4 }[/math] |
| 5 | 五阶循环群 [math]\displaystyle{ C_5 }[/math] |
| 6 | 六阶循环群 [math]\displaystyle{ C_6 }[/math] 、三次对称群 [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] / 六阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_6 }[/math] |
| 7 | 七阶循环群 [math]\displaystyle{ C_7 }[/math] |
| 8 | 八阶循环群 [math]\displaystyle{ C_8 }[/math] 、八阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_8 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_4 \times C_2 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_2 \times C_2 \times C_2 }[/math] 、四元数群 |