四阶循环群

四阶循环群
术语名称	四阶循环群
英语名称	cyclic group of order 4

四阶循环群
对象名称	四阶循环群
对象记号	[math]\displaystyle{ C_4 }[/math]
Latex	C_4
对象类别	群

含有四个元素的循环群 [math]\displaystyle{ C_4 }[/math] 。

举例

• 正方形绕中心旋转，不动、 [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{4} }[/math] 周、 [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2} }[/math] 周、 [math]\displaystyle{ \tfrac{3}{4} }[/math] 周。
• 模 4 加法群 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} }[/math] 。
• [math]\displaystyle{ \{\pm1, \pm\mathrm{i}\} }[/math] 上的乘法群。

刻画

四阶循环群中有四个元素：

• 幺元是某元素 [math]\displaystyle{ e }[/math] ，对应的操作是恒等操作“不变”；
• 另三个是非幺元， 4 次幂时回归幺元，可表示为 [math]\displaystyle{ g, g^2, g^3, g^4=e }[/math] 。

四阶群的Cayley 表如下所示：

[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|ccc} \cdot & e & g & g^2 & g^3 \\ \hline e & e & g & g^2 & g^3 \\ g & g & g^2 & g^3 & e \\ g^2 & g^2 & g^3 & e & g \\ g^3 & g^3 & e & g & g^2 \\ \end{array} }[/math]

四阶群的群表示为 [math]\displaystyle{ \langle x \mid x^4 \rangle }[/math] 。

性质

• 群
  • 四阶群中，幺元以外，有两个元素 [math]\displaystyle{ g, g^3 }[/math] 是四阶的，一个元素 [math]\displaystyle{ g^2 }[/math] 是二阶的。
  • 两个四阶元的逆元都是对方，而二阶元的逆是自身。
    [math]\displaystyle{ g^4 = e \Rightarrow g^{-1}=g^3, g^{-2}=g^2, g^{-3}=g }[/math] 。
  • 是交换群。
• 子群结构
  • 除平凡子群外，还有一个二阶群 [math]\displaystyle{ \{e, g^2\} }[/math] 作为子群。子群格有 [math]\displaystyle{ 4-2-1 }[/math] 的结构。
  • 有二阶的正规子群，对其商群是个二阶群。结构上 [math]\displaystyle{ }[/math] 。

小群
1	平凡群 [math]\displaystyle{ \{e\} }[/math]
2	二阶循环群 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math]
3	三阶循环群 [math]\displaystyle{ C_3 }[/math]
4	四阶循环群 [math]\displaystyle{ C_4 }[/math]、Klein 四元群 [math]\displaystyle{ K_4 }[/math]
5	五阶循环群 [math]\displaystyle{ C_5 }[/math]
6	六阶循环群 [math]\displaystyle{ C_6 }[/math] 、三次对称群 [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] / 六阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_6 }[/math]
7	七阶循环群 [math]\displaystyle{ C_7 }[/math]
8	八阶循环群 [math]\displaystyle{ C_8 }[/math] 、八阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_8 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_4 \times C_2 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_2 \times C_2 \times C_2 }[/math] 、四元数群