查看“︁四面体数”︁的源代码

[[分类:形状数]]
{{InfoBox
|name=四面体数
|eng_name=tetrahedral number
|aliases=三角金字塔数,三棱金字塔数,tetrahedron number,triangular pyramidal number
}}
[[:分类:形状数|形状数]]理论中，能按照等间距圆点被排列为[[正四面体]]，或者说连续叠置的[[正三角形]]，这样的数称为'''四面体数'''('''tetrahedral number''')。

== 定义 ==

对整数 <math>m \in \mathbb{Z}</math> ，若 <math>(\exists n\in \mathbb{N})(1 + (1 + 2) + (1+ 2 +3) + \cdots + (1+2+\cdots+n) = m)</math> ，则称整数 <math>m</math> 是一个'''四面体数'''('''tetrahedral number''')。

有时也记作 <math>Te_n</math> ，其中每一项都是[[三角形数]] <math>T_n</math> ，形式上也可表达为 <math>Te_n = T_1 + T_2 + \cdots + T_n = \sum_{i=1}^n T_i = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i j = \sum_{i=1}^n \frac{n(n+1)}{2} = \tfrac{1}{6} n (n+1) (n+2) = {n+2 \choose 3}</math> 是第 <math>n</math> 个四面体数，从第 <math>0</math> 个四面体数开始。

== 性质 ==

相邻两个三角形数刚好可以拼成一个[[金字塔数]]。

一阶递推：

四面体数数列相邻两项差是三角形数。

由于相邻三角形数之和为[[正方形数]]，四面体数数列中相邻奇数项之差是对应的奇数平方，偶数项之差是对应的偶数平方。递推形式为 <math>T_n = \begin{cases} 0&, n=0 \\ 1&,n=1 \\ T_{n-2} + n^2 &, n\geq 2 \end{cases}</math> 。

== 琐事 ==

=== 数列序号 ===

{{OEIS|A000292}}