四面体数
| 四面体数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 四面体数 |
| 英语名称 | tetrahedral number |
| 别名 | 三角金字塔数, 三棱金字塔数, tetrahedron number, triangular pyramidal number |
形状数理论中，能按照等间距圆点被排列为正四面体，或者说连续叠置的正三角形，这样的数称为四面体数(tetrahedral number)。
定义
对整数 [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z} }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ (\exists n\in \mathbb{N})(1 + (1 + 2) + (1+ 2 +3) + \cdots + (1+2+\cdots+n) = m) }[/math] ，则称整数 [math]\displaystyle{ m }[/math] 是一个四面体数(tetrahedral number)。
有时也记作 [math]\displaystyle{ Te_n }[/math] ，其中每一项都是三角形数 [math]\displaystyle{ T_n }[/math] ，形式上也可表达为 [math]\displaystyle{ Te_n = T_1 + T_2 + \cdots + T_n = \sum_{i=1}^n T_i = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i j = \sum_{i=1}^n \frac{n(n+1)}{2} = \tfrac{1}{6} n (n+1) (n+2) = {n+2 \choose 3} }[/math] 是第 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个四面体数，从第 [math]\displaystyle{ 0 }[/math] 个四面体数开始。
性质
相邻两个三角形数刚好可以拼成一个金字塔数。
一阶递推：
四面体数数列相邻两项差是三角形数。
由于相邻三角形数之和为正方形数，四面体数数列中相邻奇数项之差是对应的奇数平方，偶数项之差是对应的偶数平方。递推形式为 [math]\displaystyle{ T_n = \begin{cases} 0&, n=0 \\ 1&,n=1 \\ T_{n-2} + n^2 &, n\geq 2 \end{cases} }[/math] 。