查看“︁圆周率”︁的源代码

[[分类:数的实例]]
{{InfoBox
|name=圆周率
|eng_name=pi
|aliases=派
}}
'''π'''('''圆周率''', '''pi'''<ref>此处 pi {{IPA|[paɪ̯]}} ，音同 pie 。</ref>) 指圆的周长与直径之比的常数，也是圆面积与半径为边长的正方形面积之比。它经常出现在涉及圆对称的公式中，也出现在[[三角函数]]和[[反三角函数]]中，这使得其也出现在一些微积分和特殊极限内容中。

中文称其为圆周率。由于通常只使用 π 来表达这个常量，英语文本中没有公认的名称，而是直接称其为 π 或拼写成 pi 。

== 定义 ==

{{Identity
|name=圆周率
|symbol=<math>\pi</math>
|latex=\pi
|type=超越数
}}
以下常用定义等价（等价形式很多，以下为最常见的定义）：
* （几何定义）圆的周长与直径之比，或半周长与半径之比。
* 积分 <math>\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t = 2 \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t</math> （即单位圆周长一半）。
* （代数定义）满足 <math>\sin(x) = 0</math> 的最小正实数，其中 <math>\sin(x)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math> 。

这一常量通常使用 <math>\pi</math> 表示<ref>一般来说常量不应该用斜体，但是数学公式中希腊字母基本不使用非斜体。</ref><ref>希腊语 {{Grc|περιϕέρεια}} ，边缘，周长。</ref>。

== 性质 ==

是无理数。

是超越数。

十进制小数展开约为 3.14159 。

[[连分数]]形式为 <math>[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,\cdots]</math> ，以 <math>1,2n,1</math> ，没有明确规律的无限不循环（构成数列{{OEIS|A001203}}）。广义连分数可表示成 <math>3+\frac{1^2}{6+\frac{3^2}{6+\frac{5^2}{\ddots}}} = \frac{4}{1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{\ddots}}}} = \frac{4}{1+\frac{1^2}{3+\frac{2^2}{5+\frac{3^2}{\ddots}}}}</math> 。

Wallace 积 <math>\pi/2 = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \cdots</math> 。

奇数倒数交错和的 4 倍，即 <math>\frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \cdots</math> 。