圆周率
| 圆周率 | |
|---|---|
| 术语名称 | 圆周率 |
| 英语名称 | pi |
| 别名 | 派 |
π(圆周率, pi[1]) 指圆的周长与直径之比的常数，也是圆面积与半径为边长的正方形面积之比。它经常出现在涉及圆对称的公式中，也出现在三角函数和反三角函数中，这使得其也出现在一些微积分和特殊极限内容中。
中文称其为圆周率。由于通常只使用 π 来表达这个常量，英语文本中没有公认的名称，而是直接称其为 π 或拼写成 pi 。
定义
| 圆周率 | |
|---|---|
| 对象名称 | 圆周率 |
| 对象记号 | [math]\displaystyle{ \pi }[/math] |
| Latex | \pi
|
| 对象类别 | 超越数 |
以下常用定义等价（等价形式很多，以下为最常见的定义）：
- （几何定义）圆的周长与直径之比，或半周长与半径之比。
- 积分 [math]\displaystyle{ \int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t = 2 \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t }[/math] （即单位圆周长一半）。
- （代数定义）满足 [math]\displaystyle{ \sin(x) = 0 }[/math] 的最小正实数，其中 [math]\displaystyle{ \sin(x)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots }[/math] 。
这一常量通常使用 [math]\displaystyle{ \pi }[/math] 表示[2][3]。
性质
是无理数。
是超越数。
十进制小数展开约为 3.14159 。
连分数形式为 [math]\displaystyle{ [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,\cdots] }[/math] ，以 [math]\displaystyle{ 1,2n,1 }[/math] ，没有明确规律的无限不循环（构成数列A001203）。广义连分数可表示成 [math]\displaystyle{ 3+\frac{1^2}{6+\frac{3^2}{6+\frac{5^2}{\ddots}}} = \frac{4}{1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{\ddots}}}} = \frac{4}{1+\frac{1^2}{3+\frac{2^2}{5+\frac{3^2}{\ddots}}}} }[/math] 。
Wallace 积 [math]\displaystyle{ \pi/2 = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \cdots }[/math] 。
奇数倒数交错和的 4 倍，即 [math]\displaystyle{ \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \cdots }[/math] 。