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[[分类:环与模与域]]
[[分类:环实例]]
{{InfoBox
|name=多项式环
|eng_name=polynomial ring
}}
{{InfoBox
|name=变元
|eng_name=variable
|aliases=变量,不定项,indeterminant
}}
{{InfoBox
|name=系数
|eng_name=coefficient
}}
'''多项式环'''('''polynomial ring''')指一个[[环]]，其元素形式类似一般多项式，包括一个或多个'''不定项'''/'''变元'''，且'''系数'''来自一个环。

== 定义 ==

对文字 <math>x</math> 及 <math>x^2, x^3, \dots</math> ，将具有形式

<math>a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n</math>

的式 <math>f(x)</math> 称为关于 <math>x</math> 的'''多项式'''('''polynomial''' in <math>x</math>)。其中 <math>x</math> 称为'''不定项'''('''indeterminant''')或'''变元'''('''variable''')， <math>a_i</math> 称为'''系数'''('''coefficient''')。

对环 <math>\langle R,+,\cdot \rangle</math> ，若 <math>f(x)</math> 中 <math>a_0, a_1, \dots, a_n \in R</math> ，称为环 <math>R</math> 上关于 <math>x</math> 的'''多项式'''('''polynomial''' in <math>x</math> over <math>R</math> )。为简便起见，可记为 <math>f(x)=\sum_{i=0}^\infty a_i x^i</math> ，其中仅有限个 <math>a_i</math> 不是零元 <math>0_R</math> 。

定义'''相等关系'''('''equality''') 为 <math>\sum_{i=0}^\infty a_i x^i = \sum_{i=0}^\infty b_i x^i \leftrightarrow (\forall i\leq 0)(a_i = b_i)</math> 。据此将 <math>R</math> 上关于变元 <math>x</math> 的所有多项式所构成的集合记为 <math>R[x]</math> 。

定义多项式的'''加法'''('''addition''')为二元运算 <math>+:R[x]\times R[x]\to R[x]</math> ，将 <math>\sum_{i=0}^\infty a_i x^i \in R[x]</math> 和 <math>\sum_{i=0}^\infty b_i x^i \in R[x]</math> 映射到 <math>\sum_{i=0}^\infty (a_i + b_i) x^i \in R[x]</math> ，也就是系数的对应相加。

定义多项式的'''乘法'''('''multiplication''')为二元运算 <math>\cdot: R[x]\times R[x] \to R[x]</math> ，将 <math>\sum_{i=0}^\infty a_i x^i \in R[x]</math> 和 <math>\sum_{i=0}^\infty b_i x^i \in R[x]</math> 映射到 <math>\sum_{i=0}^\infty (\sum_{k=0}^i a_k b_{i-k}) x^i \in R[x]</math> ，也就是系数的[[离散卷积]]。

则可以证明对环 <math>R</math> 上关于变元 <math>x</math> 的多项式集合 <math>R[x]</math> 关于多项式的加法和乘法构成一个环。称为环 <math>R</math> 上关于变元 <math>x</math> 的'''多项式环'''('''polynomial ring''' in <math>x</math> over <math>R</math> )。

=== 相关定义 ===

{{InfoBox
|name=零多项式
|eng_name=zero polynomial
|aliases=零,zero
}}
{{InfoBox
|name=非零多项式
|eng_name=nonzero polynomial
}}
多项式环中， <math>(\forall i\geq 0)(a_i=0_R)</math> 的多项式是零元，也是 <math>R</math> 中的零元 <math>0_R</math> ，称为'''零多项式'''('''zero polynomial''')或简称'''零'''('''zero''')。不是零多项式的情况称为非零多项式。

{{InfoBox
|name=常数多项式
|eng_name=constant polynomial
|aliases=常数,constant
}}
多项式环中 <math>(\forall i\geq 1)(a_i=0_R)</math> 的多项式，称为'''常数多项式'''('''constant polynomial''')或简称'''常数'''('''constant''')。常数多项式具有 <math>a_0</math> 的形式，在 <math>R[x]</math> 中与 <math>R</math> 中的元素形式及运算关系上完全相同。

{{InfoBox
|name=常数项
|eng_name=constant term
}}
对于任意多项式 <math>\sum_{i=0}^\infty a_i x^i</math> ， <math>a_0</math> 称为其'''常数项'''('''constant term''')。

{{InfoBox
|name=首项
|eng_name=leading term
}}
对非零多项式 <math>\sum_{i=0}^\infty a_i x^i</math> ，最后一个不为零元的系数 <math>a_i</math> 所对应的 <math>a_i x^i</math> 称为'''首项'''('''leading term''')。对零多项式，不存在不为零元的系数，自然不存在其中最后一个，其首项无意义。

{{InfoBox
|name=首项系数
|eng_name=leading coefficient
}}
非零多项式首项中的系数 <math>a_i</math> 称为'''首项系数'''('''leading coefficient''')。零多项式的首项系数无意义。

{{InfoBox
|name=首一多项式
|eng_name=monic polynomial
}}
如果一个非零多项式的首项系数为 1 ，称为'''首一多项式'''('''monic polynomial''')，或称这个多项式是'''首一的'''('''monic''')。

{{InfoBox
|name=次数
|eng_name=degree
}}
非零多项式首项中的 <math>i</math> 称为多项式的'''次数'''('''degree''')。多项式 <math>f(x)</math> 的次数常记作 <math>\deg f</math> 。零多项式的次数无意义，但是为使得次数的形式一致，经常被定义为 <math>-\infty</math> ，偶尔也有 <math>-1</math> 。次数为 0 的多项式就是全部非零的常数多项式。

注：由于 <math>\{0,1,x,x^2,\dots\}</math> 关于多项式乘法构成的交换幺半群实际上和 <math>\{-\infty\}\cup\mathbb{N}</math> 关于自然数加法的交换幺半群满足[[幺半群同构]]，能保证次数有良好的性质，所以尽管没有首项， <math>-\infty</math> 是被广泛接受的。

== 衍生 ==

多项式环也是环，因此可以继续进行这一操作，得到的 <math>R[x][y][z]</math> 一般简记为 <math>R[x,y,z]</math> 。在变元间可交换的情况下，引入变元的顺序只会产生同构的环。进一步地，我们可能会考虑有可数无穷变元的多项式环 <math>R[x_1, x_2, \dots]</math> ，但其中每个多项式中，由于要求非零元的系数是有限多的，只允许有有限多的变元。

由于多项式集合 <math>\{1,x,x^2,\dots\}</math> 上多项式的乘法和自然数集 <math></math> 上的加法幺半群构造相同，多项式环 <math>R[x]</math> 相当于[[半群环]] <math>R[\mathbb{N}]</math> 。

多项式环就是[[形式幂级数环]] <math>R[[x]]</math> 中要求非零系数只能有有限个的部分。


{{环与模与域}}