多项式环
| 多项式环 | |
|---|---|
| 术语名称 | 多项式环 |
| 英语名称 | polynomial ring |
| 变元 | |
|---|---|
| 术语名称 | 变元 |
| 英语名称 | variable |
| 别名 | 变量, 不定项, indeterminant |
| 系数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 系数 |
| 英语名称 | coefficient |
多项式环(polynomial ring)指一个环，其元素形式类似一般多项式，包括一个或多个不定项/变元，且系数来自一个环。
定义
对文字 [math]\displaystyle{ x }[/math] 及 [math]\displaystyle{ x^2, x^3, \dots }[/math] ，将具有形式
[math]\displaystyle{ a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n }[/math]
的式 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] 称为关于 [math]\displaystyle{ x }[/math] 的多项式(polynomial in [math]\displaystyle{ x }[/math])。其中 [math]\displaystyle{ x }[/math] 称为不定项(indeterminant)或变元(variable)， [math]\displaystyle{ a_i }[/math] 称为系数(coefficient)。
对环 [math]\displaystyle{ \langle R,+,\cdot \rangle }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] 中 [math]\displaystyle{ a_0, a_1, \dots, a_n \in R }[/math] ，称为环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 上关于 [math]\displaystyle{ x }[/math] 的多项式(polynomial in [math]\displaystyle{ x }[/math] over [math]\displaystyle{ R }[/math] )。为简便起见，可记为 [math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{i=0}^\infty a_i x^i }[/math] ，其中仅有限个 [math]\displaystyle{ a_i }[/math] 不是零元 [math]\displaystyle{ 0_R }[/math] 。
定义相等关系(equality) 为 [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^\infty a_i x^i = \sum_{i=0}^\infty b_i x^i \leftrightarrow (\forall i\leq 0)(a_i = b_i) }[/math] 。据此将 [math]\displaystyle{ R }[/math] 上关于变元 [math]\displaystyle{ x }[/math] 的所有多项式所构成的集合记为 [math]\displaystyle{ R[x] }[/math] 。
定义多项式的加法(addition)为二元运算 [math]\displaystyle{ +:R[x]\times R[x]\to R[x] }[/math] ，将 [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^\infty a_i x^i \in R[x] }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^\infty b_i x^i \in R[x] }[/math] 映射到 [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^\infty (a_i + b_i) x^i \in R[x] }[/math] ，也就是系数的对应相加。
定义多项式的乘法(multiplication)为二元运算 [math]\displaystyle{ \cdot: R[x]\times R[x] \to R[x] }[/math] ，将 [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^\infty a_i x^i \in R[x] }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^\infty b_i x^i \in R[x] }[/math] 映射到 [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^\infty (\sum_{k=0}^i a_k b_{i-k}) x^i \in R[x] }[/math] ，也就是系数的离散卷积。
则可以证明对环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 上关于变元 [math]\displaystyle{ x }[/math] 的多项式集合 [math]\displaystyle{ R[x] }[/math] 关于多项式的加法和乘法构成一个环。称为环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 上关于变元 [math]\displaystyle{ x }[/math] 的多项式环(polynomial ring in [math]\displaystyle{ x }[/math] over [math]\displaystyle{ R }[/math] )。
相关定义
| 零多项式 | |
|---|---|
| 术语名称 | 零多项式 |
| 英语名称 | zero polynomial |
| 别名 | 零, zero |
| 非零多项式 | |
|---|---|
| 术语名称 | 非零多项式 |
| 英语名称 | nonzero polynomial |
多项式环中， [math]\displaystyle{ (\forall i\geq 0)(a_i=0_R) }[/math] 的多项式是零元，也是 [math]\displaystyle{ R }[/math] 中的零元 [math]\displaystyle{ 0_R }[/math] ，称为零多项式(zero polynomial)或简称零(zero)。不是零多项式的情况称为非零多项式。
| 常数多项式 | |
|---|---|
| 术语名称 | 常数多项式 |
| 英语名称 | constant polynomial |
| 别名 | 常数, constant |
多项式环中 [math]\displaystyle{ (\forall i\geq 1)(a_i=0_R) }[/math] 的多项式，称为常数多项式(constant polynomial)或简称常数(constant)。常数多项式具有 [math]\displaystyle{ a_0 }[/math] 的形式，在 [math]\displaystyle{ R[x] }[/math] 中与 [math]\displaystyle{ R }[/math] 中的元素形式及运算关系上完全相同。
| 常数项 | |
|---|---|
| 术语名称 | 常数项 |
| 英语名称 | constant term |
对于任意多项式 [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^\infty a_i x^i }[/math] ， [math]\displaystyle{ a_0 }[/math] 称为其常数项(constant term)。
| 首项 | |
|---|---|
| 术语名称 | 首项 |
| 英语名称 | leading term |
对非零多项式 [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^\infty a_i x^i }[/math] ，最后一个不为零元的系数 [math]\displaystyle{ a_i }[/math] 所对应的 [math]\displaystyle{ a_i x^i }[/math] 称为首项(leading term)。对零多项式，不存在不为零元的系数，自然不存在其中最后一个，其首项无意义。
| 首项系数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 首项系数 |
| 英语名称 | leading coefficient |
非零多项式首项中的系数 [math]\displaystyle{ a_i }[/math] 称为首项系数(leading coefficient)。零多项式的首项系数无意义。
| 首一多项式 | |
|---|---|
| 术语名称 | 首一多项式 |
| 英语名称 | monic polynomial |
如果一个非零多项式的首项系数为 1 ，称为首一多项式(monic polynomial)，或称这个多项式是首一的(monic)。
| 次数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 次数 |
| 英语名称 | degree |
非零多项式首项中的 [math]\displaystyle{ i }[/math] 称为多项式的次数(degree)。多项式 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] 的次数常记作 [math]\displaystyle{ \deg f }[/math] 。零多项式的次数无意义，但是为使得次数的形式一致，经常被定义为 [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] ，偶尔也有 [math]\displaystyle{ -1 }[/math] 。次数为 0 的多项式就是全部非零的常数多项式。
注：由于 [math]\displaystyle{ \{0,1,x,x^2,\dots\} }[/math] 关于多项式乘法构成的交换幺半群实际上和 [math]\displaystyle{ \{-\infty\}\cup\mathbb{N} }[/math] 关于自然数加法的交换幺半群满足幺半群同构，能保证次数有良好的性质，所以尽管没有首项， [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] 是被广泛接受的。
衍生
多项式环也是环，因此可以继续进行这一操作，得到的 [math]\displaystyle{ R[x][y][z] }[/math] 一般简记为 [math]\displaystyle{ R[x,y,z] }[/math] 。在变元间可交换的情况下，引入变元的顺序只会产生同构的环。进一步地，我们可能会考虑有可数无穷变元的多项式环 [math]\displaystyle{ R[x_1, x_2, \dots] }[/math] ，但其中每个多项式中，由于要求非零元的系数是有限多的，只允许有有限多的变元。
由于多项式集合 [math]\displaystyle{ \{1,x,x^2,\dots\} }[/math] 上多项式的乘法和自然数集 [math]\displaystyle{ }[/math] 上的加法幺半群构造相同，多项式环 [math]\displaystyle{ R[x] }[/math] 相当于半群环 [math]\displaystyle{ R[\mathbb{N}] }[/math] 。
多项式环就是形式幂级数环 [math]\displaystyle{ R[[x]] }[/math] 中要求非零系数只能有有限个的部分。