查看“︁子模”︁的源代码

[[分类:环与模与域]]
{{InfoBox
|name=子模
|eng_name=submodule
}}
'''子模'''('''submodule''')是指一个[[模]]里与其结构相同的[[子代数]]。或者更加具体地，对[[环]] <math>R</math> ， <math>R</math>-模的一个[[子集]]在群加法运算、环和模之间的数乘运算的[[限制、延拓（映射）|限制]]下也构成 <math>R</math>-模。

== 定义 ==

对环 <math>R</math> ， <math>R</math>-模 <math>\langle G,+ \rangle</math> 和其非空子集 <math>H</math> ，且 <math>H</math> 关于运算 <math>+</math> 和数乘运算也构成 <math>R</math>-模，且包含映射 <math>\iota</math> 构成一个[[模同态]]，则 <math>R</math>-模 <math>\langle H,+ \rangle</math> 称为 <math>R</math>-模 <math>\langle G,+ \rangle</math> 的'''子模'''('''submodule''')。

注：模同态也可以表述为构成子群关系 <math>H \leq G</math> ，且数乘运算也在交换群中封闭，即 <math>(\forall n\in N)(\forall r \in R)(rn \in N)</math> 。

注：严格地说这里涉及两对定义域不同映射规则相同的运算 <math>+: G\times G\to G</math> 和 <math>+: H\times H \to H</math> ，以及 <math>\dot</math> ，因此表述为群同态 <math>\iota(g_1 \cdot g_2) = \iota(g_1) \bullet \iota(g_2)</math> 。但是这个地方常常省略掉包含映射以及两个运算之间的定义域差异，得到以下定义。

== 常见构造 ==

环 <math>R</math> 是 <math>R</math>-模，其全部（左/右）子模就是其全部（左/右）[[理想]]。

模同态的[[同态核]]与[[同态像]]都是对应模中的子模。


{{环与模与域}}