子模
| 子模 | |
|---|---|
| 术语名称 | 子模 |
| 英语名称 | submodule |
子模(submodule)是指一个模里与其结构相同的子代数。或者更加具体地，对环 [math]\displaystyle{ R }[/math] ， [math]\displaystyle{ R }[/math]-模的一个子集在群加法运算、环和模之间的数乘运算的限制下也构成 [math]\displaystyle{ R }[/math]-模。
定义
对环 [math]\displaystyle{ R }[/math] ， [math]\displaystyle{ R }[/math]-模 [math]\displaystyle{ \langle G,+ \rangle }[/math] 和其非空子集 [math]\displaystyle{ H }[/math] ，且 [math]\displaystyle{ H }[/math] 关于运算 [math]\displaystyle{ + }[/math] 和数乘运算也构成 [math]\displaystyle{ R }[/math]-模，且包含映射 [math]\displaystyle{ \iota }[/math] 构成一个模同态，则 [math]\displaystyle{ R }[/math]-模 [math]\displaystyle{ \langle H,+ \rangle }[/math] 称为 [math]\displaystyle{ R }[/math]-模 [math]\displaystyle{ \langle G,+ \rangle }[/math] 的子模(submodule)。
注：模同态也可以表述为构成子群关系 [math]\displaystyle{ H \leq G }[/math] ，且数乘运算也在交换群中封闭，即 [math]\displaystyle{ (\forall n\in N)(\forall r \in R)(rn \in N) }[/math] 。
注：严格地说这里涉及两对定义域不同映射规则相同的运算 [math]\displaystyle{ +: G\times G\to G }[/math] 和 [math]\displaystyle{ +: H\times H \to H }[/math] ，以及 [math]\displaystyle{ \dot }[/math] ，因此表述为群同态 [math]\displaystyle{ \iota(g_1 \cdot g_2) = \iota(g_1) \bullet \iota(g_2) }[/math] 。但是这个地方常常省略掉包含映射以及两个运算之间的定义域差异，得到以下定义。
常见构造
环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是 [math]\displaystyle{ R }[/math]-模，其全部（左/右）子模就是其全部（左/右）理想。