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[[分类:环与模与域]]
{{InfoBox
|name=子环
|eng_name=subring
}}
'''子环'''('''subring''')指一个[[环]]中与其结构相同的[[子代数]]。或者更加具体地，环的一个[[子集]]在环中两种运算各自的[[限制、延拓（映射）|限制]]下也构成环。

<blockquote>
由于环的定义在是否具有幺元上有差异，子环的概念也有区别。

对于要求环有幺元的术语体系，子环也必须包含幺元，如同[[子群]]一样，通常要求其幺元就是环中的幺元；对于不要求环有幺元的术语体系，子环通常也不要求包含环中的幺元，偶尔出现如果存在也要求包含的情况。本 wiki 全部使用环有幺元的假设，且要求子环的幺元是环的幺元。
</blockquote>

== 定义 ==

{{Relation
|name=子环
|operand_relation=环
}}
对环 <math>\langle R,+,\cdot \rangle</math>  和非空子集 <math>S \subseteq R</math> ，且 <math>S</math> 关于运算 <math>+,\cdot</math> 也构成环，则环 <math>\langle S, +, \cdot \right</math> 称为群 <math>\langle R, +, \cdot \rangle</math> 的'''子环'''('''subring''')。

注：这个地方省略掉了两个运算之间的定义域差异，严格地说需要加包含映射表达限制。

=== 等价定义 ===

对环 <math>\langle R,+,\cdot \rangle</math>  和非空子集 <math>S \subseteq R</math> ，若 <math>\langle S, + \rangle</math> 是 <math>\langle R, + \rangle</math> 的[[子群]]、 <math>\langle S, \cdot \rangle</math> 是 <math>\langle S, \cdot \rangle </math> 的[[子幺半群]]，则群 <math>\langle S,+,\cdot\rangle</math> 称为群 <math>\langle R, +, \cdot \rangle</math> 的'''子环'''('''subring''')。

=== 相关定义 ===

{{InfoBox
|name=平凡子环
|eng_name=trivial subring
}}
{{InfoBox
|name=非平凡子环
|eng_name=nontrivial subring
}}
对任意群，其自身构成的环必然是其子环，称为其'''平凡子环'''('''trivial subring''')，
并称不是平凡子群的子群为'''非平凡子群'''('''nontrivial subring''')。

注：在认为环中存在幺元，因此[[零环]]不是非零环的子环。

== 判别 ==

根据单步子群检验法，实际上只需要考虑子环满足 <math>a - b \in S</math> 以及 <math>1_R\in S</math> 和 <math>ab\in S</math> 即可判断子环关系。


{{环与模与域}}