子环
| 子环 | |
|---|---|
| 术语名称 | 子环 |
| 英语名称 | subring |
子环(subring)指一个环中与其结构相同的子代数。或者更加具体地，环的一个子集在环中两种运算各自的限制下也构成环。
由于环的定义在是否具有幺元上有差异，子环的概念也有区别。
对于要求环有幺元的术语体系，子环也必须包含幺元，如同子群一样，通常要求其幺元就是环中的幺元；对于不要求环有幺元的术语体系，子环通常也不要求包含环中的幺元，偶尔出现如果存在也要求包含的情况。本 wiki 全部使用环有幺元的假设，且要求子环的幺元是环的幺元。
定义
| 子环 | |
|---|---|
| 关系名称 | 子环 |
| 关系符号 | |
| Latex | |
| 关系对象 | 环 |
| 关系元数 | 2
|
对环 [math]\displaystyle{ \langle R,+,\cdot \rangle }[/math] 和非空子集 [math]\displaystyle{ S \subseteq R }[/math] ，且 [math]\displaystyle{ S }[/math] 关于运算 [math]\displaystyle{ +,\cdot }[/math] 也构成环，则环 [math]\displaystyle{ \langle S, +, \cdot \right }[/math] 称为群 [math]\displaystyle{ \langle R, +, \cdot \rangle }[/math] 的子环(subring)。
注：这个地方省略掉了两个运算之间的定义域差异，严格地说需要加包含映射表达限制。
等价定义
对环 [math]\displaystyle{ \langle R,+,\cdot \rangle }[/math] 和非空子集 [math]\displaystyle{ S \subseteq R }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ \langle S, + \rangle }[/math] 是 [math]\displaystyle{ \langle R, + \rangle }[/math] 的子群、 [math]\displaystyle{ \langle S, \cdot \rangle }[/math] 是 [math]\displaystyle{ \langle S, \cdot \rangle }[/math] 的子幺半群，则群 [math]\displaystyle{ \langle S,+,\cdot\rangle }[/math] 称为群 [math]\displaystyle{ \langle R, +, \cdot \rangle }[/math] 的子环(subring)。
相关定义
| 平凡子环 | |
|---|---|
| 术语名称 | 平凡子环 |
| 英语名称 | trivial subring |
| 非平凡子环 | |
|---|---|
| 术语名称 | 非平凡子环 |
| 英语名称 | nontrivial subring |
对任意群，其自身构成的环必然是其子环，称为其平凡子环(trivial subring)， 并称不是平凡子群的子群为非平凡子群(nontrivial subring)。
注：在认为环中存在幺元，因此零环不是非零环的子环。
判别
根据单步子群检验法，实际上只需要考虑子环满足 [math]\displaystyle{ a - b \in S }[/math] 以及 [math]\displaystyle{ 1_R\in S }[/math] 和 [math]\displaystyle{ ab\in S }[/math] 即可判断子环关系。