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[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=子群
|eng_name=subgroup
}}
'''子群'''('''subgroup''')指一个[[群]]里与其结构相同的[[子代数]]。或者更加具体地，群的一个[[子集]]在群运算的[[限制、延拓（映射）|限制]]下也构成群。

== 定义 ==

{{Relation
|name=子群
|symbol=<math>\leq</math>,<math>\subseteq</math>
|latex=\leq,\subseteq
|operand_relation=群
|prototype=偏序
}}
对群 <math>\langle G,\cdot \rangle</math> 和 <math>\langle H, \bullet \rangle</math> ，若 <math>H \subseteq G</math> ，且集合间的[[包含映射]] <math>\iota</math> 构成两个群之间的[[群同态]]，则群 <math>\langle H, \bullet\rangle</math> 称为群 <math>\langle G,\cdot\rangle</math> 的'''子群'''('''subgroup''')，记作 <math>H \leq G</math> ，也有人记作 <math>H\subseteq G</math> 。

注：由于符号用在两个集合间，为区分集合的子集和对应群的子群，本 wiki 总是使用前者。

注：严格地说这里涉及两个定义域不同映射规则相同的运算 <math>\cdot</math> 和 <math>\bullet</math> ，因此表述为群同态 <math>\iota(g_1 \cdot g_2) = \iota(g_1) \bullet \iota(g_2)</math> 。但是这个地方常常省略掉包含映射以及两个运算之间的定义域差异，得到以下定义。

=== 等价定义 ===

对群 <math>\langle G,\cdot\rangle</math> 和非空子集 <math>H \subseteq G</math> ，且 <math>H</math> 关于运算 <math>\cdot</math> 也构成群，则群 <math>\langle H, \cdot\rangle</math> 称为群 <math>\langle G,\cdot\rangle</math> 的'''子群'''('''subgroup''')，记作 <math>H \leq G</math> 。

=== 相关定义 ===

{{InfoBox
|name=平凡子群
|eng_name=trivial subgroup
}}
{{InfoBox
|name=非平凡子群
|eng_name=nontrivial subgroup
}}
对任意群，其自身以及幺元构成的平凡群必然是其子群，称为其'''平凡子群'''('''trivial subgroup''')，
并称不是平凡子群的子群为'''非平凡子群'''('''nontrivial subgroup''')。

{{InfoBox
|name=真子群
|eng_name=proper subgroup
}}
{{Relation
|name=真子群
|symbol=<math><</math>,<math>\subset</math>
|latex=<,\subset
|operand_relation=群
|prototype=严格偏序
}}
对应真子集，也就是说不是群自身的子群，称为'''真子群'''('''proper subgroup''')，记作 <math>H<G</math> 。

== 判别 ==

对群 <math>\langle G,\cdot\rangle</math> 及 <math>H \subseteq G</math> ，有 <math>H\leq G</math> 当且仅当 <math>(\forall a,b\in H)(ab^{-1}\in H)</math> 。本定理也称为'''单步子群检验法'''('''one-step subgroup test''')，对应的双步(two-step)检验法指 <math>ab\in H \land a^{-1}\in H</math> 。

对群 <math>\langle G,\cdot\rangle</math> 及 <math>H \subseteq G</math> ，若 <math>H</math> 有限且非空，有 <math>H\leq G</math> 当且仅当 <math>(\forall a,b\in H)(ab \in H)</math> 。

== 性质 ==

任意个子群的交仍是子群，即对任意集族 <math>\{H_\alpha\}_{\alpha \in I}</math> ，有

<math>(\forall \alpha\in I)(H_\alpha \leq G) \Rightarrow \bigcap_{\alpha\in I} H_\alpha \leq G</math>

群同态是保持子群结构的，也就是说，子群总是被映射到子群，映射到子群的原像集也是一个子群。

<math>\varphi:G\to G', H'=\varphi(H) , (H \leq G) \Rightarrow (H'\leq G') </math>

<math>\varphi:G\to G', H=\varphi^{-1}(H') , (H' \leq G') \Rightarrow (H\leq G) </math>

[[循环群]]的子群一定还是循环群。

== 常见构造 ==

对群 <math>G</math> ， <math>G^m = \{ g^m \mid g\in G \}</math> 是其子集。

对群 <math>G</math> ， <math>G\{m\} = \{ g \mid g\in G \land g^m = e_G \}</math> 是其子集。

群同态的[[核]]与[[像（群同态）|像]]，都是对应的子群。


{{群论}}