子群
| 子群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 子群 |
| 英语名称 | subgroup |
子群(subgroup)指一个群里与其结构相同的子代数。或者更加具体地，群的一个子集在群运算的限制下也构成群。
定义
| 子群 | |
|---|---|
| 关系名称 | 子群 |
| 关系符号 | [math]\displaystyle{ \leq }[/math],[math]\displaystyle{ \subseteq }[/math] |
| Latex | \leq , \subseteq
|
| 关系对象 | 群 |
| 关系元数 | 2 |
| 类型 | 偏序 |
对群 [math]\displaystyle{ \langle G,\cdot \rangle }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \langle H, \bullet \rangle }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ H \subseteq G }[/math] ，且集合间的包含映射 [math]\displaystyle{ \iota }[/math] 构成两个群之间的群同态，则群 [math]\displaystyle{ \langle H, \bullet\rangle }[/math] 称为群 [math]\displaystyle{ \langle G,\cdot\rangle }[/math] 的子群(subgroup)，记作 [math]\displaystyle{ H \leq G }[/math] ，也有人记作 [math]\displaystyle{ H\subseteq G }[/math] 。
注：由于符号用在两个集合间，为区分集合的子集和对应群的子群，本 wiki 总是使用前者。
注：严格地说这里涉及两个定义域不同映射规则相同的运算 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] ，因此表述为群同态 [math]\displaystyle{ \iota(g_1 \cdot g_2) = \iota(g_1) \bullet \iota(g_2) }[/math] 。但是这个地方常常省略掉包含映射以及两个运算之间的定义域差异，得到以下定义。
等价定义
对群 [math]\displaystyle{ \langle G,\cdot\rangle }[/math] 和非空子集 [math]\displaystyle{ H \subseteq G }[/math] ，且 [math]\displaystyle{ H }[/math] 关于运算 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] 也构成群，则群 [math]\displaystyle{ \langle H, \cdot\rangle }[/math] 称为群 [math]\displaystyle{ \langle G,\cdot\rangle }[/math] 的子群(subgroup)，记作 [math]\displaystyle{ H \leq G }[/math] 。
相关定义
| 平凡子群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 平凡子群 |
| 英语名称 | trivial subgroup |
| 非平凡子群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 非平凡子群 |
| 英语名称 | nontrivial subgroup |
对任意群，其自身以及幺元构成的平凡群必然是其子群，称为其平凡子群(trivial subgroup)， 并称不是平凡子群的子群为非平凡子群(nontrivial subgroup)。
| 真子群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 真子群 |
| 英语名称 | proper subgroup |
| 真子群 | |
|---|---|
| 关系名称 | 真子群 |
| 关系符号 | [math]\displaystyle{ \lt }[/math],[math]\displaystyle{ \subset }[/math] |
| Latex | < , \subset
|
| 关系对象 | 群 |
| 关系元数 | 2 |
| 类型 | 严格偏序 |
对应真子集，也就是说不是群自身的子群，称为真子群(proper subgroup)，记作 [math]\displaystyle{ H\lt G }[/math] 。
判别
对群 [math]\displaystyle{ \langle G,\cdot\rangle }[/math] 及 [math]\displaystyle{ H \subseteq G }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ H\leq G }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ (\forall a,b\in H)(ab^{-1}\in H) }[/math] 。本定理也称为单步子群检验法(one-step subgroup test)，对应的双步(two-step)检验法指 [math]\displaystyle{ ab\in H \land a^{-1}\in H }[/math] 。
对群 [math]\displaystyle{ \langle G,\cdot\rangle }[/math] 及 [math]\displaystyle{ H \subseteq G }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ H }[/math] 有限且非空，有 [math]\displaystyle{ H\leq G }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ (\forall a,b\in H)(ab \in H) }[/math] 。
性质
任意个子群的交仍是子群，即对任意集族 [math]\displaystyle{ \{H_\alpha\}_{\alpha \in I} }[/math] ，有
[math]\displaystyle{ (\forall \alpha\in I)(H_\alpha \leq G) \Rightarrow \bigcap_{\alpha\in I} H_\alpha \leq G }[/math]
群同态是保持子群结构的，也就是说，子群总是被映射到子群，映射到子群的原像集也是一个子群。
[math]\displaystyle{ \varphi:G\to G', H'=\varphi(H) , (H \leq G) \Rightarrow (H'\leq G') }[/math]
[math]\displaystyle{ \varphi:G\to G', H=\varphi^{-1}(H') , (H' \leq G') \Rightarrow (H\leq G) }[/math]
循环群的子群一定还是循环群。
常见构造
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] ， [math]\displaystyle{ G^m = \{ g^m \mid g\in G \} }[/math] 是其子集。
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] ， [math]\displaystyle{ G\{m\} = \{ g \mid g\in G \land g^m = e_G \} }[/math] 是其子集。