查看“︁对数”︁的源代码

[[分类:数的运算]]
{{InfoBox
|name=对数
|eng_name=logarithm
}}
{{InfoBox
|name=底数
|eng_name=base
}}
{{InfoBox
|name=真数
|eng_name=antilogarithm
}}
'''对数'''('''logarithm''')是一个二元运算。

对数现代定义为[[乘方]]对指数的[[逆运算]]。

本条目限制在实数范围。对其他更复杂数系，以及其他数以外的数学对象的除法，参考各自的条目。

某些固定指数对数会因为常用而常常有特殊处理，如底数为 2 的[[以 2 为底的对数]]、底数为[[自然常数]] e 的[[自然对数]]、 底数为 10 的[[常用对数]]。

== 描述 ==

{{Operation
|name=对数
|symbol=<math>\log_\bullet \bullet</math>
|latex=\log
|operand=数
|result=数
}}
表达一个数被拆分成另一个数自乘时的次数的运算称为'''对数'''('''logarithm''')。
其中，被拆分的数称为'''真数'''('''antilogarithm''')，被自乘的数被称为'''底数'''('''base''')，简称'''底'''，运算结果也称为'''对数'''('''logarithm''')。

由于对数定义为乘方的逆运算，而乘方对应的[[指数函数]]在实数上有定义时，值域不覆盖全体实数。因此在实数范围内，仅允许 1 以外的正实数作为底数，且真数必须是正实数。

数 <math>a</math> 作为底数、数 <math>N</math> 作为真数时，对数记作 <math>\log_a N</math> ，读作以 '''<math>a</math> 为底 <math>N</math> 的对数'''('''logarithm of <math>N</math> to the base <math>a</math>''') 。上下文含有真数时，也简略地说成真数 <math>N</math> 的'''以 <math>a</math> 为底的对数'''('''the base-<math>a</math> logarithm''' of <math>N</math>)。

特别地：
* 底数为 2 的对数运算，即'''[[以 2 为底的对数]]'''，简记作 <math>\operatorname{lb} N</math> ；
* 底数为 e 的对数运算被称为'''[[自然对数]]'''，简记作 <math>\ln N</math> ；
* 底数为 10 的对数运算被称为'''[[常用对数]]'''，简记作 <math>\lg N</math> ；
* 在特定的情况下我们不关心对数的底，此时可简记作 <math>\log N</math> 。注意这一记号也会可能根据上下文代表底数是 2 （计算机领域）、 e （数学领域）、 10 （历史上使用，目前仍用于其他领域）。

== 定义 ==

实数上，对数 <math>a</math> 和 <math>n</math> ，其中 <math>a > 0, a \neq 1, n > 0</math> ，若 <math>(\exists c)(a ^ c = n)</math> 则可证明其（实数范围内）唯一，记 <math>c = \log_a N</math> ，此时 <math>a</math> 和 <math>N</math> 之间的这种运算，称为实数的'''对数'''。

== 性质 ==

=== 特殊取值 ===

底的对数为 1 ： <math>\log_b b = 1</math> 。
1 的对数为 0 ： <math>\log_b 1 = 0</math> 。
0 和[[负数]]没有对数。

=== 运算降级 ===

如果对数运算的真数上包含二级或三级运算，分别对应直接对对数结果进行一级或二级运算。

<math>
\begin{eqnarray}
\log_b (xy) &=& \log_b x + \log_b y \\
\log_b \tfrac{x}{y} &=& \log_b x - \log_b y \\
\log_b x^n &=& n \log_b x \\
\log_b \sqrt[n]{x} &=& \tfrac{1}{n} \log_b x \\
\end{eqnarray}
</math>

不严谨地说，从外面放到真数上，运算升一级；从真数拿到外面来，运算降一级。

=== 换底公式 ===

[[换底公式]]，即任意底对数可以转换为两个指定底对数的比值。

<math>\log_b N = \frac{\log_k N}{\log_k b}</math>

有变体：

<math>\log_b a = \frac{1}{\log_a b}</math>

<math>\log_{a_1} a_2 \log_{a_2} a_3 \dots \log_{a_{n-1}} a_n = \log_{a_1} a_n</math>

<math>\log _{b_{1}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{n}}a_{n}=\log _{b_{\pi (1)}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{\pi (n)}}a_{n}</math> ，其中 <math>\pi</math> 是 1 到 <math>n</math> 的任意[[排列]]。


{{超运算}}

== 琐事 ==

=== 历史及名称 ===

* 虽然乘方比对数容易理解，在现在的教育中也是更早引入的，但历史上对数比乘方出现更早。最初用于将大数的乘除法转换为加减法，因此对数(logarithm, {{Lat|logarithmus}})最早的词源是由希腊语比例 ({{Grc|λόγος||lógos}}) 和数字 ({{Grc|ἀριθμός||arithmós}}) 所复合的“比例数”<ref>https://en.wiktionary.org/wiki/logarithm</ref>。
* 当时的对数是一种用大小表达比例的“比例数”，是一种用于查表对照来简化计算的东西，也就是“对数表”。表格中的两列直接被叫做 logarithm 和 antilogarithm (anti- + logarithm) ，字面上也就是“比例数”和“反过来的比例数”。
* 也就是说， logarithm 是先定义的一元运算，和其他一元运算一样记作一个缩写 <math>\log</math> ，只是对数和底数有关，不得不有个下标，记作 <math>\log_a</math> ，与自变量一起构成 <math>\log_a x</math> 的形式（可对比 <math>\sin x</math> 的写法）。'''当时''' <math>\log</math> 默认底数为 10 。其逆运算，已知一个数的 logarithm 查找这个数，就被称为 antilogarithm ，并记作 <math>\log^{-1}_a</math> ，构成 <math>\log^{-1}_a x</math> 或 <math>\operatorname{antilog}_a x</math> 的形式（可对比[[反三角函数]]的两种记号 <math>\sin^{-1} x</math> 和 <math>\arcsin x</math> 的写法）。也同样'''当时''' <math>\log^{-1}</math> 默认底数为 10 。当然现在反对数已经几乎全部被[[指数函数]]等词替换。
* 换句话说，'''在当时'''，这两个词完全对应：在以某数为底时， <math>b</math> 是 <math>N</math> 的对数时，说 <math>b</math> 是 <math>N</math> 的 logarithm ，也会说 <math>N</math> 是 <math>b</math> 的 antilogarithm 。这里不被叫做 <math>b</math> 次幂，因为乘方和幂是后起概念。
* 尽管现在随着计算设备的普及已不多见，直到 21 世纪初还偶尔能看到的数学用表手册仍然会使用“常用对数表”和“反对数表”（也作“真数表”）的名称，其中用来查 logarithm 的就叫“对数表”（因为是“常用对数”所以是“常用对数表”），用来查 antilogarithm 的叫“反对数表”。这里就保留了一开始“对数 logarithm”和“反对数/真数 antilogarithm”的称呼。尽管后者就是指数函数 <math>10^x</math> ，但历史因素这种表仍然保留这个名字。
* 传入我国后， logarithm 和 antilogarithm 首先被译为“假数”和“真数”，指“用来假托计算的数”和“实际要计算的数”。后来因为是对照表，逐渐被称为“对数”和“反对数”<ref>[https://zhuanlan.zhihu.com/p/648501751 对数（logarithm）一词的由来 - Bourbon的文章 - 知乎]</ref>。但“真数”作为“反对数”的同义词仍然被保留了下来，并且在“反对数”所指的函数被统一成基于乘方表示的指数函数后，“真数”一词仍然保留了对数运算中运算数的含义。