对数
| 对数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 对数 |
| 英语名称 | logarithm |
| 底数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 底数 |
| 英语名称 | base |
| 真数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 真数 |
| 英语名称 | antilogarithm |
对数(logarithm)是一个二元运算。
本条目限制在实数范围。对其他更复杂数系，以及其他数以外的数学对象的除法，参考各自的条目。
某些固定指数对数会因为常用而常常有特殊处理，如底数为 2 的以 2 为底的对数、底数为自然常数 e 的自然对数、 底数为 10 的常用对数。
描述
| 对数 | |
|---|---|
| 运算名称 | 对数 |
| 运算符号 | [math]\displaystyle{ \log_\bullet \bullet }[/math] |
| Latex | \log
|
| 运算对象 | 数 |
| 运算元数 | 2 |
| 运算结果 | 数
|
表达一个数被拆分成另一个数自乘时的次数的运算称为对数(logarithm)。 其中，被拆分的数称为真数(antilogarithm)，被自乘的数被称为底数(base)，简称底，运算结果也称为对数(logarithm)。
由于对数定义为乘方的逆运算，而乘方对应的指数函数在实数上有定义时，值域不覆盖全体实数。因此在实数范围内，仅允许 1 以外的正实数作为底数，且真数必须是正实数。
数 [math]\displaystyle{ a }[/math] 作为底数、数 [math]\displaystyle{ N }[/math] 作为真数时，对数记作 [math]\displaystyle{ \log_a N }[/math] ，读作以 [math]\displaystyle{ a }[/math] 为底 [math]\displaystyle{ N }[/math] 的对数(logarithm of [math]\displaystyle{ N }[/math] to the base [math]\displaystyle{ a }[/math]) 。上下文含有真数时，也简略地说成真数 [math]\displaystyle{ N }[/math] 的以 [math]\displaystyle{ a }[/math] 为底的对数(the base-[math]\displaystyle{ a }[/math] logarithm of [math]\displaystyle{ N }[/math])。
特别地：
- 底数为 2 的对数运算，即以 2 为底的对数，简记作 [math]\displaystyle{ \operatorname{lb} N }[/math] ；
- 底数为 e 的对数运算被称为自然对数，简记作 [math]\displaystyle{ \ln N }[/math] ；
- 底数为 10 的对数运算被称为常用对数，简记作 [math]\displaystyle{ \lg N }[/math] ；
- 在特定的情况下我们不关心对数的底，此时可简记作 [math]\displaystyle{ \log N }[/math] 。注意这一记号也会可能根据上下文代表底数是 2 （计算机领域）、 e （数学领域）、 10 （历史上使用，目前仍用于其他领域）。
定义
实数上，对数 [math]\displaystyle{ a }[/math] 和 [math]\displaystyle{ n }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ a \gt 0, a \neq 1, n \gt 0 }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ (\exists c)(a ^ c = n) }[/math] 则可证明其（实数范围内）唯一，记 [math]\displaystyle{ c = \log_a N }[/math] ，此时 [math]\displaystyle{ a }[/math] 和 [math]\displaystyle{ N }[/math] 之间的这种运算，称为实数的对数。
性质
特殊取值
底的对数为 1 ： [math]\displaystyle{ \log_b b = 1 }[/math] 。 1 的对数为 0 ： [math]\displaystyle{ \log_b 1 = 0 }[/math] 。 0 和负数没有对数。
运算降级
如果对数运算的真数上包含二级或三级运算，分别对应直接对对数结果进行一级或二级运算。
[math]\displaystyle{ \begin{eqnarray} \log_b (xy) &=& \log_b x + \log_b y \\ \log_b \tfrac{x}{y} &=& \log_b x - \log_b y \\ \log_b x^n &=& n \log_b x \\ \log_b \sqrt[n]{x} &=& \tfrac{1}{n} \log_b x \\ \end{eqnarray} }[/math]
不严谨地说，从外面放到真数上，运算升一级；从真数拿到外面来，运算降一级。
换底公式
换底公式，即任意底对数可以转换为两个指定底对数的比值。
[math]\displaystyle{ \log_b N = \frac{\log_k N}{\log_k b} }[/math]
有变体：
[math]\displaystyle{ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} }[/math]
[math]\displaystyle{ \log_{a_1} a_2 \log_{a_2} a_3 \dots \log_{a_{n-1}} a_n = \log_{a_1} a_n }[/math]
[math]\displaystyle{ \log _{b_{1}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{n}}a_{n}=\log _{b_{\pi (1)}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{\pi (n)}}a_{n} }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ \pi }[/math] 是 1 到 [math]\displaystyle{ n }[/math] 的任意排列。
| 超运算 [math]\displaystyle{ a[n]b }[/math] / [math]\displaystyle{ a\uparrow\dots\uparrow b }[/math] | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 级别 [math]\displaystyle{ n }[/math] | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| 超运算 | 后继 | 加法 | 乘法 | 乘方 | 超幂/幂塔/迭代幂次 | 广义迭代幂次 | … |
| 对 [math]\displaystyle{ a }[/math] 逆运算 | 前趋 | 减法 | 除法 | 开方 | 超开方 | … | |
| 对 [math]\displaystyle{ b }[/math] 逆运算 | 对数 | 超对数 | … | ||||
琐事
历史及名称
- 虽然乘方比对数容易理解，在现在的教育中也是更早引入的，但历史上对数比乘方出现更早。最初用于将大数的乘除法转换为加减法，因此对数(logarithm, logarithmus)最早的词源是由希腊语比例 (λόγος, lógos) 和数字 (ἀριθμός, arithmós) 所复合的“比例数”[1]。
- 当时的对数是一种用大小表达比例的“比例数”，是一种用于查表对照来简化计算的东西，也就是“对数表”。表格中的两列直接被叫做 logarithm 和 antilogarithm (anti- + logarithm) ，字面上也就是“比例数”和“反过来的比例数”。
- 也就是说， logarithm 是先定义的一元运算，和其他一元运算一样记作一个缩写 [math]\displaystyle{ \log }[/math] ，只是对数和底数有关，不得不有个下标，记作 [math]\displaystyle{ \log_a }[/math] ，与自变量一起构成 [math]\displaystyle{ \log_a x }[/math] 的形式（可对比 [math]\displaystyle{ \sin x }[/math] 的写法）。当时 [math]\displaystyle{ \log }[/math] 默认底数为 10 。其逆运算，已知一个数的 logarithm 查找这个数，就被称为 antilogarithm ，并记作 [math]\displaystyle{ \log^{-1}_a }[/math] ，构成 [math]\displaystyle{ \log^{-1}_a x }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \operatorname{antilog}_a x }[/math] 的形式（可对比反三角函数的两种记号 [math]\displaystyle{ \sin^{-1} x }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \arcsin x }[/math] 的写法）。也同样当时 [math]\displaystyle{ \log^{-1} }[/math] 默认底数为 10 。当然现在反对数已经几乎全部被指数函数等词替换。
- 换句话说，在当时，这两个词完全对应：在以某数为底时， [math]\displaystyle{ b }[/math] 是 [math]\displaystyle{ N }[/math] 的对数时，说 [math]\displaystyle{ b }[/math] 是 [math]\displaystyle{ N }[/math] 的 logarithm ，也会说 [math]\displaystyle{ N }[/math] 是 [math]\displaystyle{ b }[/math] 的 antilogarithm 。这里不被叫做 [math]\displaystyle{ b }[/math] 次幂，因为乘方和幂是后起概念。
- 尽管现在随着计算设备的普及已不多见，直到 21 世纪初还偶尔能看到的数学用表手册仍然会使用“常用对数表”和“反对数表”（也作“真数表”）的名称，其中用来查 logarithm 的就叫“对数表”（因为是“常用对数”所以是“常用对数表”），用来查 antilogarithm 的叫“反对数表”。这里就保留了一开始“对数 logarithm”和“反对数/真数 antilogarithm”的称呼。尽管后者就是指数函数 [math]\displaystyle{ 10^x }[/math] ，但历史因素这种表仍然保留这个名字。
- 传入我国后， logarithm 和 antilogarithm 首先被译为“假数”和“真数”，指“用来假托计算的数”和“实际要计算的数”。后来因为是对照表，逐渐被称为“对数”和“反对数”[2]。但“真数”作为“反对数”的同义词仍然被保留了下来，并且在“反对数”所指的函数被统一成基于乘方表示的指数函数后，“真数”一词仍然保留了对数运算中运算数的含义。