查看“︁对称关系”︁的源代码

[[分类:二元关系]]{{DEFAULTSORT:dui4chen4guan1xi5}}
{{#seo:
|keywords=对称关系, 对称性
|description=本文介绍对称关系的定义、基本性质及其在二元关系理论中的特征，包括对称关系的关系矩阵表示、运算封闭性和与其他关系性质的交互。
|modified_time={{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY2}}
|published_time=2023-04-26
}}
{{InfoBox
|name=对称关系
|eng_name=symmetric relation
}}
{{InfoBox
|name=对称性
|eng_name=symmetry
}}
{{InfoBox
|name=对称关系
|eng_name=symmetric relation
}}
'''对称关系'''('''symmetric relation''')指[[集合]]上的一个二元[[关系]]中，任意两个元素若有关系，则交换顺序后仍然有关系。

== 定义 ==

对集合 <math>X</math> 上的二元关系 <math>R</math> ，若 <math>\forall a \in X \forall b \in X (a R b \leftrightarrow b R a)</math> ，称：
* 关系 <math>R</math> 是'''对称的'''('''symmetric''')，
* 关系 <math>R</math> 有'''对称性'''('''symmetry''')，
* 关系 <math>R</math> 是'''对称关系'''('''symmetric relation''')。

等价定义：
* 与自身[[逆关系]]相等的关系，即  <math>R^\mathrm{T} \subseteq R</math> 。

== 性质 ==

* 表示
** 一个关系是对称关系当且仅当关系矩阵是[[对称矩阵]]。
** 一个关系是对称关系当且仅当关系图中所有边都是双向的。
* 关系简单运算相关性质
** 对称关系的[[交关系|交]]仍是对称关系
** 对称关系的[[并关系|并]]仍是对称关系
** 对称关系的[[复合（关系）|复合]]'''不一定'''是对称关系（两个对称关系不同，复合步骤本身不具有对称性，结果不一定对称）
** 对称关系的[[幂（关系）|幂]]仍是对称关系
** 对称关系的[[补关系]]仍是对称关系
* 关系闭包运算相关性质
** 对称关系的[[自反闭包]]仍是对称关系
** 对称关系的[[对称闭包]]是其自身
** 对称关系的[[传递闭包]]仍是对称关系
* 参与特殊类型关系
** 所有[[等价关系]]都是对称关系
** 对称关系与[[反对称关系]]不互相排斥（同时是对称的且反对称的当且仅当是恒等关系的子关系）
** 对称关系与[[不对称关系]]不互相排斥（同时是对称的且不对称的当且仅当是空关系）
** 若一个关系既是对称又是传递的，则它'''不一定'''是自反的（可从 <math>aRb</math> 推出 <math>aRa</math> ，但这并不是任意元素，原集合中可能存在部分元素与任意元素均没有关系，无法被 <math>aRb</math> 选择）


{{关系}}

== 参考资料 ==

# [https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_relation Symmetric relation - Wikipedia]