对称关系

对称关系
术语名称	对称关系
英语名称	symmetric relation

对称关系(symmetric relation)指集合上的一个二元关系中，所有有关系的元素对交换顺序后同样有关系。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ \forall a \forall b (a R b \leftrightarrow b R a) }[/math]，称关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是对称的(symmetric)，关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 有对称性(symmetry)，及关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是对称关系(symmetric relation)。

以上定义等价于 [math]\displaystyle{ R = R^\mathrm{T} }[/math] 。

性质

对称关系的关系矩阵是对称矩阵。

对称关系与反对称关系不互相排斥。

关系/二元关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	基础运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	函数性运算	对偶（转置、逆） [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]

参考资料

1. Symmetric relation - Wikipedia