查看“︁对称群”︁的源代码

[[分类:群实例]]
{{InfoBox
|name=对称群
|eng_name=symmetric group
}}
{{InfoBox
|name=置换群
|eng_name=permutation group
}}
{{InfoBox
|name=n次对称群
|eng_name=symmetric group of degree n
|aliases=n元对称群
}}
{{InfoBox
|name=n次置换群
|eng_name=permutation group of degree n
|aliases=n元置换群
}}
'''对称群'''('''symmetric group''')指集合上的全体[[置换]]（[[双射]][[变换]]）关于其[[复合（映射）|复合]]所构成的[[群]]。
'''置换群'''('''permutation group''')指其子群，即元素是集合上的置换、运算是置换的复合的群。

== 定义 ==

{{Identity
|name=对称群
|type=群
|symbol=<math>\mathrm{Sym}(\bullet)</math>
|latex=\mathrm{Sym}()
}}
对集合 <math>A</math> ，其上的全体[[置换]]的集合关于变换的复合构成一个群，称为集合 <math>A</math> 上的'''对称群'''('''symmetric group''')，记作 <math>S_A</math> 或 <math>\operatorname{Sym}(A)</math> 。对称群的任意[[子群]]称为'''置换群'''('''permutation group''')。

对含有 <math>n</math> 个元素的集合，集合上的置换称为[[排列]]，其构成的对称群称为 '''<math>n</math> 次对称群'''('''symmetric group of degree <math>n</math>''')，记作 <math>S_n</math> 或 <math>\operatorname{Sym}(n)</math> ，此时将集合记作 <math>\{ \mathbf{1}, \dots, \mathbf{n} \}</math> 。对应地，其任意子群称为 '''<math>n</math> 次置换群'''('''permutation group of degree <math>n</math>''')。

注：我们把平面上对图形 <math>K</math> 使得其与原来完全重合的集合 <math>S_K = \{\phi \mid \phi(K)=K\}</math> 称为'''对称变换'''，因为这些说明了图形在某种变换下的对称性；类似地，对称群 <math>S_A</math> 就是在说集合的某种抽象的对称性，因此称为对称群。术语“群(group)”在最初使用时，指的就是“置换群(''permutation'' group)”。

== 举例 ==

* [[空集]]上的对称群是 0 次对称群 <math>S_0</math> ，只含有[[空映射]]一个元素。因此是[[平凡群]]。
* [[单点集]]上的对称群是 1 次对称群 <math>S_1</math> ，只含有[[恒等映射]]一个元素。因此是[[平凡群]]。
* 2 次对称群 <math>S_2</math> 只有 2 个元素，恒等映射和交换两个元素的映射。因此只有一种固定结构，是一个二阶的[[循环群]]，见[[二阶群]]。从 2 次对称群开始，对称群不再是平凡群。
* 3 次对称群 <math>S_3</math> 中有 6 个元素，其中除了恒等映射，有 3 个对换和 2 个 3 阶轮换。但是只有一种结构，可拆解成 3 种奇排列和 3 种偶排列，群中的 2 个 3 阶[[轮换]]以相反方向遍历，而 3 个[[对换]]则在两个类型之间切换，于是整个群和六阶[[二面体群]]同构，见[[三次对称群]]。从 3 次对称群开始，对称群不再是循环群和[[交换群]]。

== 性质 ==

见[[对称群的结构]]。


{{群}}