对称群
| 对称群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 对称群 |
| 英语名称 | symmetric group |
| 置换群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 置换群 |
| 英语名称 | permutation group |
| n次对称群 | |
|---|---|
| 术语名称 | n次对称群 |
| 英语名称 | symmetric group of degree n |
| 别名 | n元对称群 |
| n次置换群 | |
|---|---|
| 术语名称 | n次置换群 |
| 英语名称 | permutation group of degree n |
| 别名 | n元置换群 |
对称群(symmetric group)指集合上的全体置换（双射变换）关于其复合所构成的群。 置换群(permutation group)指其子群，即元素是集合上的置换、运算是置换的复合的群。
定义
| 对称群 | |
|---|---|
| 对象名称 | 对称群 |
| 对象记号 | [math]\displaystyle{ \mathrm{Sym}(\bullet) }[/math] |
| Latex | \mathrm{Sym}()
|
| 对象类别 | 群 |
对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] ，其上的全体置换的集合关于变换的复合构成一个群，称为集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上的对称群(symmetric group)，记作 [math]\displaystyle{ S_A }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \operatorname{Sym}(A) }[/math] 。对称群的任意子群称为置换群(permutation group)。
对含有 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个元素的集合，集合上的置换称为排列，其构成的对称群称为 [math]\displaystyle{ n }[/math] 次对称群(symmetric group of degree [math]\displaystyle{ n }[/math])，记作 [math]\displaystyle{ S_n }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \operatorname{Sym}(n) }[/math] ，此时将集合记作 [math]\displaystyle{ \{ \mathbf{1}, \dots, \mathbf{n} \} }[/math] 。对应地，其任意子群称为 [math]\displaystyle{ n }[/math] 次置换群(permutation group of degree [math]\displaystyle{ n }[/math])。
注：我们把平面上对图形 [math]\displaystyle{ K }[/math] 使得其与原来完全重合的集合 [math]\displaystyle{ S_K = \{\phi \mid \phi(K)=K\} }[/math] 称为对称变换，因为这些说明了图形在某种变换下的对称性；类似地，对称群 [math]\displaystyle{ S_A }[/math] 就是在说集合的某种抽象的对称性，因此称为对称群。术语“群(group)”在最初使用时，指的就是“置换群(permutation group)”。
举例
- 空集上的对称群是 0 次对称群 [math]\displaystyle{ S_0 }[/math] ，只含有空映射一个元素。因此是平凡群。
- 单点集上的对称群是 1 次对称群 [math]\displaystyle{ S_1 }[/math] ，只含有恒等映射一个元素。因此是平凡群。
- 2 次对称群 [math]\displaystyle{ S_2 }[/math] 只有 2 个元素，恒等映射和交换两个元素的映射。因此只有一种固定结构，是一个二阶的循环群，见二阶群。从 2 次对称群开始，对称群不再是平凡群。
- 3 次对称群 [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] 中有 6 个元素，其中除了恒等映射，有 3 个对换和 2 个 3 阶轮换。但是只有一种结构，可拆解成 3 种奇排列和 3 种偶排列，群中的 2 个 3 阶轮换以相反方向遍历，而 3 个对换则在两个类型之间切换，于是整个群和六阶二面体群同构，见三次对称群。从 3 次对称群开始，对称群不再是循环群和交换群。
性质
见对称群的结构。