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[[分类:二元关系]]{{DEFAULTSORT:dui4chen4bi4bao1}}
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|keywords=对称闭包, 闭包运算, 对称关系
|description=本文介绍对称闭包的定义、计算方法及其在二元关系理论中的性质，包括对称闭包与逆关系的关系及其在各种运算下的行为。
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|published_time=2023-04-26
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{{InfoBox
|name=对称闭包
|eng_name=symmetric closure
}}
'''对称闭包'''('''symmetric closure''')是指对[[集合]]上的一个二元[[关系]]，包含该关系的最小[[对称关系]]。

== 定义 ==

{{Operation
|name=对称闭包
|symbol=<math>\operatorname{s}()</math>,<math>^s</math>,<math>^\sim</math>
|latex=\operatorname{s},^s,^\sim
|operand=关系
|operand_num=1
|result=关系
|domain=<math>\mathcal{P}(X\times X)</math>
|codomain=<math>\mathcal{P}(X\times X)</math>
}}
对集合 <math>X</math> 上的二元关系 <math>R</math> ，定义满足以下条件的所有关系 <math>S</math>：
* <math>S</math> 是对称关系；
* <math>S \supseteq R</math> 。
其中必有一个关系是其他所有关系的子集，称为关系 <math>R</math> 的'''对称闭包'''('''symmetric closure''')，记作 <math>\operatorname{s}(R)</math> 、 <math>R^s</math> 或 <math>R^\sim</math> 。

== 性质 ==

* 基本性质
** 计算： <math>\operatorname{s}(R) = R \cup R^{-1}</math> 。集合 <math>X</math> 上关系的自反闭包是这一关系与其[[逆关系]]的[[并关系|并]]。
** 对称关系的对称闭包是其自身。
** 对称闭包是包含 <math>R</math> 的最小对称关系。
** 对称闭包是向 <math>R</math> 上添加最少有序对构成的对称关系。
* 运算性质
** 对称闭包运算是[[幂等性（一元运算）|幂等]]的： <math>\operatorname{s}(\operatorname{s}(R)) = \operatorname{s}(R)</math> 。
** 对称闭包运算是[[单调性|单调]]的：如果 <math>R \subseteq S</math> ，则 <math>\operatorname{s}(R) \subseteq \operatorname{s}(S)</math> 。
** 对称闭包与[[并关系|并]]运算可交换： <math>\operatorname{s}(R \cup S) = \operatorname{s}(R) \cup \operatorname{s}(S)</math> 。
** 对称闭包与[[交关系|交]]运算不一定可交换： <math>\operatorname{s}(R \cap S) \subseteq \operatorname{s}(R) \cap \operatorname{s}(S)</math> 。
** 对称闭包与[[逆关系]]可交换： <math>\operatorname{s}(R^{-1}) = \operatorname{s}(R)</math> 。
** 对称闭包的逆关系等于其自身： <math>(\operatorname{s}(R))^{-1} = \operatorname{s}(R)</math> 。
* 与其他闭包运算的关系：
** 对称闭包与[[自反闭包]]可交换：<math>\operatorname{s}(\operatorname{r}(R)) = \operatorname{r}(\operatorname{s}(R))</math> 。
** 对称闭包与[[传递闭包]]不一定可交换：<math>\operatorname{s}(\operatorname{t}(R)) \neq \operatorname{t}(\operatorname{s}(R))</math> （一般情况下）。
* 特殊关系的对称闭包
** [[空关系]]的对称闭包是其自身：<math>\operatorname{s}(\varnothing) = \varnothing</math>
** [[恒等关系]]的对称闭包是其自身：<math>\operatorname{s}(I_X) = I_X</math>
** [[全关系]]的对称闭包是其自身：<math>\operatorname{s}(X \times X) = X \times X</math>
* 表示
* 关系图
** 对称闭包的关系图是在原关系图中为每条有向边添加反向边得到
** 如果原关系图已有反向边，则对称闭包不会添加重复边
* 关系矩阵
** 对称闭包的关系矩阵是原关系矩阵与其转置的逻辑或
** 对称闭包的关系矩阵是原矩阵中进行最少次将 0 改为 1 操作的对称矩阵


{{关系}}