对称闭包

对称闭包
术语名称	对称闭包
英语名称	symmetric closure

对称闭包(symmetric closure)是指对集合上的一个二元关系，包含该关系的最小对称关系。

定义

对称闭包
运算名称	对称闭包
运算符号	[math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math],[math]\displaystyle{ ^s }[/math],[math]\displaystyle{ ^\sim }[/math]
Latex	`\operatorname{s}`, `^s`, `^\sim`
运算对象	关系
运算元数	1
运算结果	关系
定义域	[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(X\times X) }[/math]
陪域	[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(X\times X) }[/math]

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，定义满足以下条件的所有关系 [math]\displaystyle{ S }[/math]：

[math]\displaystyle{ S }[/math] 是对称关系；
[math]\displaystyle{ S \supseteq R }[/math] 。

其中必有一个关系是其他所有关系的子集，称为关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的对称闭包(symmetric closure)，记作 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}(R) }[/math] 、 [math]\displaystyle{ R^s }[/math] 或 [math]\displaystyle{ R^\sim }[/math] 。

性质

基本性质
- 计算： [math]\displaystyle{ \operatorname{s}(R) = R \cup R^{-1} }[/math] 。集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上关系的自反闭包是这一关系与其逆关系的并。
- 对称关系的对称闭包是其自身。
- 对称闭包是包含 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的最小对称关系。
- 对称闭包是向 [math]\displaystyle{ R }[/math] 上添加最少有序对构成的对称关系。
运算性质
- 对称闭包运算是幂等的： [math]\displaystyle{ \operatorname{s}(\operatorname{s}(R)) = \operatorname{s}(R) }[/math] 。
- 对称闭包运算是单调的：如果 [math]\displaystyle{ R \subseteq S }[/math] ，则 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}(R) \subseteq \operatorname{s}(S) }[/math] 。
- 对称闭包与并运算可交换： [math]\displaystyle{ \operatorname{s}(R \cup S) = \operatorname{s}(R) \cup \operatorname{s}(S) }[/math] 。
- 对称闭包与交运算不一定可交换： [math]\displaystyle{ \operatorname{s}(R \cap S) \subseteq \operatorname{s}(R) \cap \operatorname{s}(S) }[/math] 。
- 对称闭包与逆关系可交换： [math]\displaystyle{ \operatorname{s}(R^{-1}) = \operatorname{s}(R) }[/math] 。
- 对称闭包的逆关系等于其自身： [math]\displaystyle{ (\operatorname{s}(R))^{-1} = \operatorname{s}(R) }[/math] 。
与其他闭包运算的关系：
- 对称闭包与自反闭包可交换：[math]\displaystyle{ \operatorname{s}(\operatorname{r}(R)) = \operatorname{r}(\operatorname{s}(R)) }[/math] 。
- 对称闭包与传递闭包不一定可交换：[math]\displaystyle{ \operatorname{s}(\operatorname{t}(R)) \neq \operatorname{t}(\operatorname{s}(R)) }[/math] （一般情况下）。
特殊关系的对称闭包
- 空关系的对称闭包是其自身：[math]\displaystyle{ \operatorname{s}(\varnothing) = \varnothing }[/math]
- 恒等关系的对称闭包是其自身：[math]\displaystyle{ \operatorname{s}(I_X) = I_X }[/math]
- 全关系的对称闭包是其自身：[math]\displaystyle{ \operatorname{s}(X \times X) = X \times X }[/math]
表示
关系图
- 对称闭包的关系图是在原关系图中为每条有向边添加反向边得到
- 如果原关系图已有反向边，则对称闭包不会添加重复边
关系矩阵
- 对称闭包的关系矩阵是原关系矩阵与其转置的逻辑或
- 对称闭包的关系矩阵是原矩阵中进行最少次将 0 改为 1 操作的对称矩阵

关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
二元齐次关系类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{\|\bullet} }[/math]
	闭包运算	自反 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math]、对称 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^\sim }[/math]、传递 [math]\displaystyle{ \operatorname{t}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^+ }[/math]、自反传递 [math]\displaystyle{ \bullet^* }[/math]、等价 [math]\displaystyle{ \bullet^\equiv }[/math]