对称闭包

对称闭包
术语名称	对称闭包
英语名称	symmetric closure

对称闭包(symmetric closure)是指对集合上的一个二元关系，包含其的最小的对称关系。

定义

对称闭包
运算名称	对称闭包
运算符号	[math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]
Latex	\operatorname{s}
运算对象	关系
运算元数	1
运算结果	关系
定义域	[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(X\times X) }[/math]
陪域	[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(X\times X) }[/math]

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，定义满足以下条件的所有关系 [math]\displaystyle{ S }[/math]：

其中必有一个关系是其他所有关系的子集，称为关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的对称闭包(symmetric closure)，记作 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}(R) }[/math]。

可证明，集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上关系的对称闭包是这一关系与其转置的并，即 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}(R) = R \cup R^{\mathrm{T}} }[/math] 。

对称关系的对称闭包是其自身。

关系/二元关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	基础运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
运算	函数性运算	对偶（转置、逆） [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{\|\bullet} }[/math]