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[[分类:群论]]
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'''换位子'''('''commutator''')指[[群]]中对两个元素构造的一个同时与两个元素可交换的元素。全体换位子生成的[[子群]]称为'''换位子群'''('''commutator subgroup''')或'''导群'''('''derived group''')。

== 定义 ==

对群 <math>G</math> 及元素 <math>g,h\in G</math> ，元素 <math>k = g h g^{-1} h^{-1}</math> 满足 <math>k h g = g h </math> ，因此称为元素 <math>g</math> 和 <math>h</math> 的'''换位子'''('''commutator''')，记作 <math>[g, h]</math> 。

对群 <math>G</math> ，其中任意两元素的交换子所生成的子群称为群 <math>G</math> 的'''导群'''(derived group)或换位子群('''commutator subgroup''')，记作 <math>G'</math> 或 <math>G^{(1)}</math> 。

== 性质 ==

两个[[正规子群]]中全部元素的换位子在两个子群交集中。如果两个正规子群只交于幺元，则元素可交换。
因此两个只交于幺元的正规子群有 <math>N_1 N_2 \cong N_1 \times N_2</math> 。

全体换位子构成未必构成子群，但是换位子生成的群可以保证构成[[正规子群]]，即 <math>G' \unlhd G</math> 。

换位子在同态 <math>\varphi:G_1\to G_2</math> 下有 <math>\varphi([g,h])=[\varphi(g)\varphi(h)]</math> ，因此 <math>\varphi(G_1')\subseteq G_2'</math> 。

商群 <math>G/G'</math> 是[[交换群]]。且[[投影同态]] <math>\pi:G\to G/G'</math> 满足泛性质，其是 <math>G</math> 到交换群的所有群同构中的[[始对象]]，因此可以看成是 <math>G</math> 最接近的交换群。


{{有限群理论}}