导群

换位子
术语名称	换位子
英语名称	commutator
别名	交换子

导群
术语名称	导群
英语名称	commutator subgroup
别名	derived group, 换位子群, 交换子群, commutator group

换位子
术语名称	换位子
英语名称	commutator
别名	交换子

换位子(commutator)指群中对两个元素构造的一个同时与两个元素可交换的元素。全体换位子生成的子群称为换位子群(commutator subgroup)或导群(derived group)。

定义

对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 及元素 [math]\displaystyle{ g,h\in G }[/math] ，元素 [math]\displaystyle{ k = g h g^{-1} h^{-1} }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ k h g = g h }[/math] ，因此称为元素 [math]\displaystyle{ g }[/math] 和 [math]\displaystyle{ h }[/math] 的换位子(commutator)，记作 [math]\displaystyle{ [g, h] }[/math] 。

对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，其中任意两元素的交换子所生成的子群称为群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的导群(derived group)或换位子群(commutator subgroup)，记作 [math]\displaystyle{ G' }[/math] 或 [math]\displaystyle{ G^{(1)} }[/math] 。

性质

两个正规子群中全部元素的换位子在两个子群交集中。如果两个正规子群只交于幺元，则元素可交换。 因此两个只交于幺元的正规子群有 [math]\displaystyle{ N_1 N_2 \cong N_1 \times N_2 }[/math] 。

全体换位子构成未必构成子群，但是换位子生成的群可以保证构成正规子群，即 [math]\displaystyle{ G' \unlhd G }[/math] 。

换位子在同态 [math]\displaystyle{ \varphi:G_1\to G_2 }[/math] 下有 [math]\displaystyle{ \varphi([g,h])=[\varphi(g)\varphi(h)] }[/math] ，因此 [math]\displaystyle{ \varphi(G_1')\subseteq G_2' }[/math] 。

商群 [math]\displaystyle{ G/G' }[/math] 是交换群。且投影同态 [math]\displaystyle{ \pi:G\to G/G' }[/math] 满足泛性质，其是 [math]\displaystyle{ G }[/math] 到交换群的所有群同构中的始对象，因此可以看成是 [math]\displaystyle{ G }[/math] 最接近的交换群。

有限群理论
子群存在性
特殊阶数群	[math]\displaystyle{ p }[/math]-群			[math]\displaystyle{ pq }[/math]-群
特殊阶数子群	类方程	Cauchy 定理	Sylow 第一定理、Sylow [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群		Sylow 第二定理	Sylow 第三定理
由单群合成
逐层构造	次正规列、正规列、因子			单群、合成列
	Zassenhaus 引理		Schreier 细化定理		Jordan–Hölder 定理
组合方式	群正合列	群直积（群内直积）、群半直积		群短正合列	群扩张
交换的对称性
交换性成分	换位子、导群		导列		可解群