查看“︁差集”︁的源代码

[[分类:集合]]{{DEFAULTSORT:cha1ji2}}
{{#seo:
|keywords=差集, 相对补集
|description=本文介绍差集（相对补集）的定义、记号、性质及其与交并运算的关系，包括在布尔代数中的表示和基本运算规则。
|modified_time={{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY2}}
|published_time=2023-4-9
}}
{{InfoBox
|name=差集
|eng_name=difference
|aliases=差,相对补集,relative complement
}}
'''差集'''('''difference''')是对两个[[集合]]，由所有[[成员关系|属于]]第一个集合但不属于第二个集合的元素构成的新集合。

== 定义 ==

{{Operation
|name=差集
|symbol=<math>\setminus</math>,<math>-</math>
|latex=\setminus,-
|operand=集合
|result=集合
}}
对集合 <math>A</math> 、 <math>B</math> ，由所有属于集合 <math>A</math> 但不属于集合 <math>B</math> 的元素所构成的集合，叫做集合 <math>A</math> 与集合 <math>B</math> 的'''差集'''('''difference''')或
集合 <math>A</math> 在集合 <math>B</math> 中的'''相对补集'''('''relative complement''')、集合 <math>A</math> '''相对于'''集合 <math>B</math> 的'''补集'''，简称'''差'''，记作 <math>A \setminus B</math> ，有时也记作 <math>A - B</math><ref>直接用减号，有时会造成和闵氏和对应的减法的歧义，即元素作差可能取值构成的集合。</ref> 。
即： <math>A \setminus B = \left\{ x \mid x \in A \land x \notin B \right\}</math>。

{{GiteaSvg|venn_graph/diff}}

{{CharMetaInfo
|char=&#x2216;
|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+2216|Set Minus}}
|latex=\setminus
}}

== 性质 ==

根据差集和补集的关系，差集也可以定义为：<math>A \setminus B = A \cap B^\complement</math>

* 特殊值
** [[空集]]是差集运算的右[[幺元]]： <math>A \setminus \varnothing = A</math>
** 空集是差集运算的左[[零元]] <math>\varnothing \setminus A = \varnothing</math>
** <math>A \setminus A = \varnothing</math>
** 如果允许[[全集]]， <math>A \setminus U = \varnothing</math>
** 如果允许全集， <math>U \setminus A = A^\complement</math>
* 包含关系
** <math> A \setminus B \subseteq A </math>
*** <math> A \setminus B \subset A \Leftrightarrow A \cap B \neq \varnothing</math>
** <math> A \setminus B = \varnothing \Leftrightarrow A \subseteq B</math>
** <math> A \subset B \implies C \setminus A \supset C \setminus B </math>
*** <math> A \subseteq B \implies C \setminus A \supseteq C \setminus B </math>
* 和交并的关系
** 对于任意集合 <math>A</math> 和 <math>B</math>，有 <math>A \cap (A \setminus B) = A \setminus B</math>、<math>A \cup (A \setminus B) = A</math>。
** 对于任意集合 <math>A</math> 、 <math>B</math> 和 <math>C</math>，有 <math>A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)</math> 、 <math>A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)</math>。
** 对于任意集合 <math>A</math> 、 <math>B</math> 和 <math>C</math>，有 <math>A \setminus (B \setminus C) = (A \cap C) \cup (A \setminus B)</math>。
*** 对于任意集合 <math>A</math> 和 <math>B</math>，有 <math>A \setminus (A \setminus B) = A \cap B</math>。
** 对于任意集合 <math>A</math> 、 <math>B</math> 和 <math>C</math>，有 <math>(A \cap B) \setminus C = (A \setminus C) \cap B = A \cap (B \setminus C) = (A \setminus C) \cap (B \setminus C)</math>。
** 对于任意集合 <math>A</math> 、 <math>B</math> 和 <math>C</math>，有 <math>(A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C)</math>。
** 对于任意集合 <math>A</math> 、 <math>B</math> 和 <math>C</math>，有 <math>(A \setminus B) \cup C = (A \cup C) \setminus (B \setminus C)</math>。
* 不满足[[交换律]]


{{集合}}