差集

差集
术语名称	差集
英语名称	difference
别名	差, 相对补集, relative complement

差集(difference)是对两个集合，由所有属于第一个集合但不属于第二个集合的元素构成的新的集合。

定义

差集
运算名称	差集
运算符号	[math]\displaystyle{ \setminus }[/math],[math]\displaystyle{ - }[/math]
Latex	\setminus , -
运算对象	集合
运算元数	2
运算结果	集合

对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，由所有属于集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 但不属于集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的元素所构成的集合，叫做集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 与集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的差集(difference)或 集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 在集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 中的相对补集(relative complement)，简称差，记作 [math]\displaystyle{ A \setminus B }[/math]，有时也记作 [math]\displaystyle{ A - B }[/math]。即： [math]\displaystyle{ A \setminus B = \left\{ x \mid x \in A \land x \notin B \right\} }[/math]。

∖
字符	∖
Unicode码位	U+2216 Set Minus
Latex命令序列	\setminus

性质

作为布尔代数的运算，差集可以定义为：[math]\displaystyle{ A \setminus B = A \cap B^\complement }[/math]

• 特殊值
  • [math]\displaystyle{ A \setminus \varnothing = A }[/math]
    • 空集是差集运算的右单位元。
  • [math]\displaystyle{ \varnothing \setminus A = \varnothing }[/math]
    • 空集是差集运算的左零元。
  • [math]\displaystyle{ A \setminus A = \varnothing }[/math]
  • [math]\displaystyle{ A \setminus U = \varnothing }[/math]
  • [math]\displaystyle{ U \setminus A = A^\complement }[/math]
• 包含关系
  • [math]\displaystyle{ A \subset B \implies C \setminus A \supset C \setminus B }[/math]
    • [math]\displaystyle{ A \subseteq B \implies C \setminus A \supseteq C \setminus B }[/math]
  • [math]\displaystyle{ A \supset B \setminus C \supset B \setminus A }[/math]
• 和交并的关系
  • 对于任意集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math]，有 [math]\displaystyle{ A \cap (A \setminus B) = A \setminus B }[/math]、[math]\displaystyle{ A \cup (A \setminus B) = A }[/math]。
  • 对于任意集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] 和 [math]\displaystyle{ C }[/math]，有 [math]\displaystyle{ A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C) }[/math] 、 [math]\displaystyle{ A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C) }[/math]。
  • 对于任意集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] 和 [math]\displaystyle{ C }[/math]，有 [math]\displaystyle{ A \setminus (B \setminus C) = (A \cap C) \cup (A \setminus B) }[/math]。
    • 对于任意集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math]，有 [math]\displaystyle{ A \setminus (A \setminus B) = A \cap B }[/math]。
  • 对于任意集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] 和 [math]\displaystyle{ C }[/math]，有 [math]\displaystyle{ (A \cap B) \setminus C = (A \setminus C) \cap B = A \cap (B \setminus C) = (A \setminus C) \cap (B \setminus C) }[/math]。
  • 对于任意集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] 和 [math]\displaystyle{ C }[/math]，有 [math]\displaystyle{ (A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C) }[/math]。
  • 对于任意集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] 和 [math]\displaystyle{ C }[/math]，有 [math]\displaystyle{ (A \setminus B) \cup C = (A \cup C) \setminus (B \setminus C) }[/math]。