查看“︁平凡群”︁的源代码

[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=平凡群
|eng_name=trivial group
|aliases=零群,zero group
}}
'''平凡群'''('''trivial group''')/'''零群'''('''zero group''')指[[单点集]]上的[[群]]。
单点集上[[封闭]]的二元运算唯一，因此每个单点集上有唯一的平凡群。
平凡群在同构意义下唯一。

类似地，这个群也是单点集上唯一的[[半群]]、[[幺半群]]，因此也可以称为'''平凡半群'''('''trivial semigroup''')，'''平凡幺半群'''('''trivial monoid''')等。

平凡群是[[交换群]]。

== 定义 ==

对单点集 <math>\{g\}</math> 及其上二元运算 <math>\cdot: (g, g) \mapsto g</math> ，可验证这一运算封闭、有结合性、有幺元、有逆元，因此 <math>\langle \{g\}, \cdot, g \rangle</math> 是一个群，称为'''平凡群'''('''trivial group''')/'''零群'''('''zero group''')。

平凡群经常被忽略其具体元素，记为 <math>\{e\}</math> 或 <math>1</math> 。

== 性质 ==

* 群
** 平凡群的[[运算表]]如下图所示：<br/><math>
\begin{array}{c|c}
\cdot & g \\ \hline
g & g
\end{array}
</math>
** 平凡群 <math>\{g\}</math> 中幺元是 <math>g</math> ；
** 平凡群 <math>g</math> 中，全部的、也是唯一的元素 <math>g</math> 有逆元 <math>g</math> 。
* 零元
** 平凡群有零元 <math>g</math> 。
** 对一个群，是平凡群当且仅当有零元。
* 其他复杂结构的平凡形式
** 模 1 加法群 <math>\mathbb{Z}/1\mathbb{Z}</math> 。
** 1 阶循环群 <math>C_1</math> 。
** 1 次置换群 <math>S_1</math> 。
** 1 次交错群 <math>A_1</math> 和 2 次交错群 <math>A_2</math> 。
** ……


{{小阶数群}}