平凡群

平凡群
术语名称	平凡群
英语名称	trivial group
别名	零群, zero group

平凡群(trivial group)/零群(zero group)指单点集上的群。单点集上封闭的二元运算唯一，因此每个单点集上有唯一的平凡群。平凡群在同构意义下唯一。

类似地，这个群也是单点集上唯一的半群、幺半群，因此也可以称为平凡半群(trivial semigroup)，平凡幺半群(trivial monoid)等。

平凡群是交换群。

定义

对单点集 [math]\displaystyle{ \{g\} }[/math] 及其上二元运算 [math]\displaystyle{ \cdot: (g, g) \mapsto g }[/math] ，可验证这一运算封闭、有结合性、有幺元、有逆元，因此 [math]\displaystyle{ \langle \{g\}, \cdot, g \rangle }[/math] 是一个群，称为平凡群(trivial group)/零群(zero group)。

平凡群经常被忽略其具体元素，记为 [math]\displaystyle{ \{e\} }[/math] 或 [math]\displaystyle{ 1 }[/math] 。

性质

群
- 平凡群的运算表如下图所示：
  [math]\displaystyle{ \begin{array}{c|c} \cdot & g \\ \hline g & g \end{array} }[/math]
- 平凡群 [math]\displaystyle{ \{g\} }[/math] 中幺元是 [math]\displaystyle{ g }[/math] ；
- 平凡群 [math]\displaystyle{ g }[/math] 中，全部的、也是唯一的元素 [math]\displaystyle{ g }[/math] 有逆元 [math]\displaystyle{ g }[/math] 。
零元
- 平凡群有零元 [math]\displaystyle{ g }[/math] 。
- 对一个群，是平凡群当且仅当有零元。
其他复杂结构的平凡形式
- 模 1 加法群 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/1\mathbb{Z} }[/math] 。
- 1 阶循环群 [math]\displaystyle{ C_1 }[/math] 。
- 1 次置换群 [math]\displaystyle{ S_1 }[/math] 。
- 1 次交错群 [math]\displaystyle{ A_1 }[/math] 和 2 次交错群 [math]\displaystyle{ A_2 }[/math] 。
- ……

小群
1	平凡群 [math]\displaystyle{ \{e\} }[/math]
2	二阶循环群 [math]\displaystyle{ C_2 }[/math]
3	三阶循环群 [math]\displaystyle{ C_3 }[/math]
4	四阶循环群 [math]\displaystyle{ C_4 }[/math]、Klein 四元群 [math]\displaystyle{ K_4 }[/math]
5	五阶循环群 [math]\displaystyle{ C_5 }[/math]
6	六阶循环群 [math]\displaystyle{ C_6 }[/math] 、三次对称群 [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] / 六阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_6 }[/math]
7	七阶循环群 [math]\displaystyle{ C_7 }[/math]
8	八阶循环群 [math]\displaystyle{ C_8 }[/math] 、八阶二面体群 [math]\displaystyle{ D_8 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_4 \times C_2 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C_2 \times C_2 \times C_2 }[/math] 、四元数群