查看“︁平衡三进制”︁的源代码

[[分类:记数系统]]
{{InfoBox
|name=平衡三进制
|eng_name=balanced ternary numeral system
|aliases=balanced base-3 numeral system,balanced ternary
}}
{{InfoBox
|name=平衡三进制的
|eng_name=balanced ternary
|aliases=base-3,trinary
}}
{{InfoBox
|name=平衡三进制数
|eng_name=balanced ternary number
|aliases=balanced base-3 number
}}
'''平衡三进制'''('''balanced ternary''', '''balanced base-3''')记数系统指基数为 [[3]] 的[[平衡进位制记数法]]。是指通过 -1 、 0 、 1 三个符号表达数值的记数方法。

有时也被简称为平衡进制（即平衡进位制记数法），在不引起混淆的情况下也直接称为[[三进制]]。

在计算机中，平衡三进制曾经是与二进制有竞争力的对手，但是目前已较少使用。

== 定义 ==

基数为 3 的平衡进位制记数法称为'''平衡三进制记数法'''('''balanced ternary numeral system''', '''balanced base-3 numeral system''', 简称 '''balanced ternary''', '''balanced base-3''')。在不引起混淆的情况下，有时也简称'''三进制记数法'''。

平衡三进制记数法下的数称为'''平衡三进制数'''('''balanced ternary number''')。在不引起混淆的情况下，有时也简称'''三进制记数法'''。

平衡三进制数中的一位(digit)即'''平衡三进制位'''，也常称为一个'''[[三进制位]]'''('''ternary digit''', '''trinary digit''', '''trit''')，其位权为 [[3 的幂]]。

== 表示 ==

平衡三进制中的每一位只含有 <math>0</math> 、 <math>1</math> 及 <math>\bar{1}</math> 或 <math>\mathrm{T}</math> 三个符号。在写成数形式时，遵从进位制记数法的一般规则，由权重更高的位到权重更低的位写成一串，且存在小数部分时在位权为 <math>3^0=1</math> 的位后添加小数点。如 <math>10\mathrm{T}101</math> 。

若需要指出具体进制时，可使用一般的添加进制下标的形式，区分于三进制时使用 <math>\mathrm{bal}3</math> ，即 <math>1001100_\mathrm{bal3}</math> 或 <math>(1001100)_\mathrm{bal3}</math> 。

与其他平衡进制一样，数字最高位符号决定了整个数字的符号，不需要额外的符号来标识数值的正负。

=== 分隔符 ===

由于三进制数通常有较多位数，有时对其使用类似千位分隔符的方式分段以便阅读。在通常情况下，由于三进制数以[[三进制字节]]形式 6 位一组地出现，会按照每 2 位或每 3 位一段进行分隔。如 <math>10\ \mathrm{T}1\ 01</math> 和 <math>10\mathrm{T}\ 101</math> 。

特别地， 2 位分隔本身也可以直接简写为九进制，这是因为 9 本身是 3 的幂。如 <math>371_{9}</math> 。三位分隔理论上也可以使用 27 进制，如 <math>BA_{27}</math> ，但是符号太多不便于识读，使用相对较少。

== 数值及表示 ==

=== 位权 ===

对三进制数，其小数点前的数位（称为'''最低位'''('''least significant trit''', '''LST''')）的位权为 1 ，向高位依次为 <math>3,3^2,3^3,\cdots</math> ，其中权重最高的位称为'''最高位'''('''most significant trit''', '''MST''')。

如果存在小数部分，则向低位也依次为 <math>3^{-1},3^{-2},3^{-3},\cdots</math> 。

=== 平衡三进制转换为十进制 ===

计算一个平衡三进制数的十进制表示时，可以通过计算对应位权相加的方式，即 <math>a_n 2^n + a_{n-1} 2^{n-1} + \cdots + a_1 2^1 + a_0</math> ，也可以通过 [[Hornor 法则]]将其看作多项式求值 <math>((\cdots(a_n x + a_{n-1}) x + \cdots + a_1) x + a_0) \mid_{x=3}</math> 。与普通进制的区别只是其中 <math>a_i \in \{0, \pm1\}</math> 不一定是正数。

=== 十进制转换为平衡三进制 ===

短除法：不断对 3 做最小绝对余数的带余除法，也就是余数取 0 和 ±1 的带余除法，并将余数作为得到的位，商继续循环，直到 0 为止。余数从最低位依次到最高位排列。也可理解为是普通的带余除法，但是当余数为 2 时将余数视为 -1 并为商加 1 。

=== 标准三进制转换为平衡三进制 ===

从右向左将每一位 2 处理成 1T （所在位为 T ，然后向前进一位），即可从标准三进制转换为平衡三进制。

=== 平衡三进制转换为标准三进制 ===

将每一个 T 处理成 T2 （所在位为 2 ，然后从前借一位），然后如果最终最高位为 T ，则计算差得到负数。即可从平衡三进制转换为标准三进制。

=== 一些常见数值表示 ===

对有限小数，不列出其对应的无限循环小数形式。

{| class='wikitable' style='width: 100%'
|-
! 整数（十进制） !! 平衡三进制 !! 整数（十进制） !! 平衡三进制 !! 分数（十进制） !! 平衡三进制 !! 分数（十进制） !! 平衡三进制
|-
| 1 || 1 || -1 || T || 1/1 || 1 || -1/1 || T
|-
| 2 || 1T || -2 || T1 || 1/2 || <math>0.\overline{1}</math>/<math>1.\overline{\mathrm{T}}</math> || -1/2 || <math>0.\overline{\mathrm{T}}</math>/<math>\mathrm{T}.\overline{1}</math> 
|-
| 3 || 10 || -3 || T0 || 1/3 || 0.1 || -1/3 || 0.T
|-
| 4 || 11 || -4 || TT || 1/4 || <math>0.\overline{1T}</math> || -1/4 || <math>0.\overline{T1}</math>
|-
| 5 || 1TT || -5 || T11 || 1/5 || <math>0.\overline{1TT1}</math> || -1/5 || <math>0.\overline{T11T}</math>
|-
| 6 || 1T0 || -6 || T10 || 1/6 || <math>0.0\overline{1}</math>/<math>0.1\overline{\mathrm{T}}</math> || -1/6 || <math>0.0\overline{\mathrm{T}}</math>/<math>0.\mathrm{T}\overline{1}</math>
|-
| 7 || 1T1 || -7 || T1T || 1/7 || <math>0.\overline{0110\mathrm{TT}}</math> || -1/7 || <math>0.\overline{0\mathrm{TT}011}</math>
|-
| 8 || 10T || -8 || T01 || 1/8 || <math>0.\overline{01}</math> || -1/8 || <math>0.\overline{0\mathrm{T}}</math>
|-
| 9 || 100 || -9 || T00 || 1/9 || 0.01 || -1/9 || 0.0T
|-
| 10 || 101 || -10 || T0T || 1/10 || <math>0.\overline{010\mathrm{T}}</math> || -1/10 || <math>0.\overline{0\mathrm{T}01}</math>
|-
| 11 || 11T || -11 || TT1 || 1/11 || <math>0.\overline{01\mathrm{T}11}</math> || 1/11 || <math>0.\overline{0\mathrm{T}1\mathrm{TT}}</math>
|-
| 12 || 110 || -12 || TT0 || 1/12 || <math>0.0\overline{1\mathrm{T}}</math> || -1/12 || <math>0.0\overline{\mathrm{T}1}</math>
|-
| 13 || 111 || -13 || TTT || 1/13 || <math>0.\overline{01\mathrm{T}}</math> || -1/13 || <math>0.\overline{0\mathrm{T}1}</math>
|-
| 14 || 1TTT || -14 || T111 || 1/14 || <math>0.\overline{01\mathrm{T}0\mathrm{T}1}</math> || 1/14 || <math>0.\overline{0\mathrm{T}101\mathrm{T}}</math>
|-
| 15 || 1TT0 || -15 || T110 || 1/15 || <math>0.0\overline{1\mathrm{TT}1}</math> || -1/15 || <math>0.0\overline{\mathrm{T}11\mathrm{T}}</math>
|}


{{记数法}}