平衡三进制
| 平衡三进制 | |
|---|---|
| 术语名称 | 平衡三进制 |
| 英语名称 | balanced ternary numeral system |
| 别名 | balanced base-3 numeral system, balanced ternary |
| 平衡三进制的 | |
|---|---|
| 术语名称 | 平衡三进制的 |
| 英语名称 | balanced ternary |
| 别名 | base-3, trinary |
| 平衡三进制数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 平衡三进制数 |
| 英语名称 | balanced ternary number |
| 别名 | balanced base-3 number |
平衡三进制(balanced ternary, balanced base-3)记数系统指基数为 3 的平衡进位制记数法。是指通过 -1 、 0 、 1 三个符号表达数值的记数方法。
有时也被简称为平衡进制（即平衡进位制记数法），在不引起混淆的情况下也直接称为三进制。
在计算机中，平衡三进制曾经是与二进制有竞争力的对手，但是目前已较少使用。
定义
基数为 3 的平衡进位制记数法称为平衡三进制记数法(balanced ternary numeral system, balanced base-3 numeral system, 简称 balanced ternary, balanced base-3)。在不引起混淆的情况下，有时也简称三进制记数法。
平衡三进制记数法下的数称为平衡三进制数(balanced ternary number)。在不引起混淆的情况下，有时也简称三进制记数法。
平衡三进制数中的一位(digit)即平衡三进制位，也常称为一个三进制位(ternary digit, trinary digit, trit)，其位权为 3 的幂。
表示
平衡三进制中的每一位只含有 [math]\displaystyle{ 0 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ 1 }[/math] 及 [math]\displaystyle{ \bar{1} }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math] 三个符号。在写成数形式时，遵从进位制记数法的一般规则，由权重更高的位到权重更低的位写成一串，且存在小数部分时在位权为 [math]\displaystyle{ 3^0=1 }[/math] 的位后添加小数点。如 [math]\displaystyle{ 10\mathrm{T}101 }[/math] 。
若需要指出具体进制时，可使用一般的添加进制下标的形式，区分于三进制时使用 [math]\displaystyle{ \mathrm{bal}3 }[/math] ，即 [math]\displaystyle{ 1001100_\mathrm{bal3} }[/math] 或 [math]\displaystyle{ (1001100)_\mathrm{bal3} }[/math] 。
与其他平衡进制一样，数字最高位符号决定了整个数字的符号，不需要额外的符号来标识数值的正负。
分隔符
由于三进制数通常有较多位数，有时对其使用类似千位分隔符的方式分段以便阅读。在通常情况下，由于三进制数以三进制字节形式 6 位一组地出现，会按照每 2 位或每 3 位一段进行分隔。如 [math]\displaystyle{ 10\ \mathrm{T}1\ 01 }[/math] 和 [math]\displaystyle{ 10\mathrm{T}\ 101 }[/math] 。
特别地， 2 位分隔本身也可以直接简写为九进制，这是因为 9 本身是 3 的幂。如 [math]\displaystyle{ 371_{9} }[/math] 。三位分隔理论上也可以使用 27 进制，如 [math]\displaystyle{ BA_{27} }[/math] ，但是符号太多不便于识读，使用相对较少。
数值及表示
位权
对三进制数，其小数点前的数位（称为最低位(least significant trit, LST)）的位权为 1 ，向高位依次为 [math]\displaystyle{ 3,3^2,3^3,\cdots }[/math] ，其中权重最高的位称为最高位(most significant trit, MST)。
如果存在小数部分，则向低位也依次为 [math]\displaystyle{ 3^{-1},3^{-2},3^{-3},\cdots }[/math] 。
平衡三进制转换为十进制
计算一个平衡三进制数的十进制表示时，可以通过计算对应位权相加的方式，即 [math]\displaystyle{ a_n 2^n + a_{n-1} 2^{n-1} + \cdots + a_1 2^1 + a_0 }[/math] ，也可以通过 Hornor 法则将其看作多项式求值 [math]\displaystyle{ ((\cdots(a_n x + a_{n-1}) x + \cdots + a_1) x + a_0) \mid_{x=3} }[/math] 。与普通进制的区别只是其中 [math]\displaystyle{ a_i \in \{0, \pm1\} }[/math] 不一定是正数。
十进制转换为平衡三进制
短除法：不断对 3 做最小绝对余数的带余除法，也就是余数取 0 和 ±1 的带余除法，并将余数作为得到的位，商继续循环，直到 0 为止。余数从最低位依次到最高位排列。也可理解为是普通的带余除法，但是当余数为 2 时将余数视为 -1 并为商加 1 。
标准三进制转换为平衡三进制
从右向左将每一位 2 处理成 1T （所在位为 T ，然后向前进一位），即可从标准三进制转换为平衡三进制。
平衡三进制转换为标准三进制
将每一个 T 处理成 T2 （所在位为 2 ，然后从前借一位），然后如果最终最高位为 T ，则计算差得到负数。即可从平衡三进制转换为标准三进制。
一些常见数值表示
对有限小数，不列出其对应的无限循环小数形式。
| 整数（十进制） | 平衡三进制 | 整数（十进制） | 平衡三进制 | 分数（十进制） | 平衡三进制 | 分数（十进制） | 平衡三进制 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | -1 | T | 1/1 | 1 | -1/1 | T |
| 2 | 1T | -2 | T1 | 1/2 | [math]\displaystyle{ 0.\overline{1} }[/math]/[math]\displaystyle{ 1.\overline{\mathrm{T}} }[/math] | -1/2 | [math]\displaystyle{ 0.\overline{\mathrm{T}} }[/math]/[math]\displaystyle{ \mathrm{T}.\overline{1} }[/math] |
| 3 | 10 | -3 | T0 | 1/3 | 0.1 | -1/3 | 0.T |
| 4 | 11 | -4 | TT | 1/4 | [math]\displaystyle{ 0.\overline{1T} }[/math] | -1/4 | [math]\displaystyle{ 0.\overline{T1} }[/math] |
| 5 | 1TT | -5 | T11 | 1/5 | [math]\displaystyle{ 0.\overline{1TT1} }[/math] | -1/5 | [math]\displaystyle{ 0.\overline{T11T} }[/math] |
| 6 | 1T0 | -6 | T10 | 1/6 | [math]\displaystyle{ 0.0\overline{1} }[/math]/[math]\displaystyle{ 0.1\overline{\mathrm{T}} }[/math] | -1/6 | [math]\displaystyle{ 0.0\overline{\mathrm{T}} }[/math]/[math]\displaystyle{ 0.\mathrm{T}\overline{1} }[/math] |
| 7 | 1T1 | -7 | T1T | 1/7 | [math]\displaystyle{ 0.\overline{0110\mathrm{TT}} }[/math] | -1/7 | [math]\displaystyle{ 0.\overline{0\mathrm{TT}011} }[/math] |
| 8 | 10T | -8 | T01 | 1/8 | [math]\displaystyle{ 0.\overline{01} }[/math] | -1/8 | [math]\displaystyle{ 0.\overline{0\mathrm{T}} }[/math] |
| 9 | 100 | -9 | T00 | 1/9 | 0.01 | -1/9 | 0.0T |
| 10 | 101 | -10 | T0T | 1/10 | [math]\displaystyle{ 0.\overline{010\mathrm{T}} }[/math] | -1/10 | [math]\displaystyle{ 0.\overline{0\mathrm{T}01} }[/math] |
| 11 | 11T | -11 | TT1 | 1/11 | [math]\displaystyle{ 0.\overline{01\mathrm{T}11} }[/math] | 1/11 | [math]\displaystyle{ 0.\overline{0\mathrm{T}1\mathrm{TT}} }[/math] |
| 12 | 110 | -12 | TT0 | 1/12 | [math]\displaystyle{ 0.0\overline{1\mathrm{T}} }[/math] | -1/12 | [math]\displaystyle{ 0.0\overline{\mathrm{T}1} }[/math] |
| 13 | 111 | -13 | TTT | 1/13 | [math]\displaystyle{ 0.\overline{01\mathrm{T}} }[/math] | -1/13 | [math]\displaystyle{ 0.\overline{0\mathrm{T}1} }[/math] |
| 14 | 1TTT | -14 | T111 | 1/14 | [math]\displaystyle{ 0.\overline{01\mathrm{T}0\mathrm{T}1} }[/math] | 1/14 | [math]\displaystyle{ 0.\overline{0\mathrm{T}101\mathrm{T}} }[/math] |
| 15 | 1TT0 | -15 | T110 | 1/15 | [math]\displaystyle{ 0.0\overline{1\mathrm{TT}1} }[/math] | -1/15 | [math]\displaystyle{ 0.0\overline{\mathrm{T}11\mathrm{T}} }[/math] |
| 记数系统 | |||
|---|---|---|---|
| 位值制记数法 | 进位制记数法/标准位值制记数法（进制） | 二进制、八进制、十进制、十六进制、…… | |
| 非标准位值制记数法 | 带符号进位制记数法/ 平衡记数法（平衡进制） |
平衡三进制、…… | |
| 双射记数法（双射进制） | 一进制、双射十进制、双射二十六进制、…… | ||
| 位权是幂 但基数不是自然数 （非自然数进制） |
[math]\displaystyle{ -2 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ -4 }[/math] 、…… | ||
| [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt{3} }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[12]{2} }[/math] 、…… | |||
| [math]\displaystyle{ 2i }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[4]{2}i }[/math] 、 [math]\displaystyle{ 2\omega }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{2}\omega }[/math] 、 [math]\displaystyle{ -1\pm i }[/math] 、…… | |||
| 位权不是幂（混合进制） | 二五混合进制、阶乘进制、…… | ||
| 其他 | [math]\displaystyle{ p }[/math]-进数 | ||
| 质数记数法、…… | |||
| 符值制记数法 | 罗马记数法、希腊记数法、…… | ||