查看“︁并集”︁的源代码

[[分类:集合]]{{DEFAULTSORT:bing4ji2}}
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|keywords=并集
|description=本文介绍并集的数学定义、基本性质、多元并集和广义并集，涵盖集合论中的核心概念与运算规则，适用于数学和计算机科学基础学习。
|modified_time={{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY2}}
|published_time=2023-04-09
}}
{{InfoBox
|name=并集
|eng_name=union
|aliases=并
}}
'''并集'''('''union''')是对两个或多个[[集合]]，由所有[[成员关系|属于]]这些集合中任意一个的元素构成的新的集合。

== 定义 ==

{{Operation
|name=并集
|symbol=<math>\cup</math>
|latex=\cup
|operand=集合
|result=集合
|prototype=布尔代数
}}
对集合 <math>A</math> 、 <math>B</math> ，由所有属于集合 <math>A</math> 或属于集合 <math>B</math> 的元素所构成的集合，叫做集合 <math>A</math> 与集合 <math>B</math> 的'''并集'''('''union''')，简称'''并'''，记作 <math>A \cup B</math>。即： <math>A \cup B = \left\{ x \mid x \in A \lor x \in B \right\}</math>。

{{GiteaSvg|venn_graph/union}}

{{CharMetaInfo
|char=&#x222A;
|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+222A|Union}}<ref>有别名 {{UnicodeName|Cup}}。</ref>
|latex=\cup
}}

== 性质 ==

布尔代数的运算。

* 运算性质：
** [[结合律]]：对于任意集合 <math>A</math> 、 <math>B</math> 和 <math>C</math>，有 <math>(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)</math>。
** [[交换律]]：对于任意集合 <math>A</math> 和 <math>B</math>，有 <math>A \cup B = B \cup A</math>。
** [[分配律]]：对于任意集合 <math>A</math> 、 <math>B</math> 和 <math>C</math>，有 <math>A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)</math>。
** [[吸收律]]：对于任意集合 <math>A</math> 和 <math>B</math>，有 <math>A \cap (A \cup B) = A</math>、<math>A \cup (A \cap B) = A</math>。
** [[德·摩根律]]：对于任意集合 <math>A</math> 和 <math>B</math>，有 <math> (A \cap B)^c = A^c \cup B^c</math>、<math>(A \cup B)^c = A^c \cap B^c</math>。
* 特殊值：
** <math>A \cup A = A</math>
** <math>A \cup \varnothing = A</math>
*** [[空集]]是并集运算的[[单位元]]。
** <math>A \cup U = U</math>
*** [[全集]]是并集运算的[[零元]]。（若讨论范围存在全集）
* [[包含关系]]：
** <math>A \cup B \supseteq A</math> 
*** <math>A \cup B = A \Leftrightarrow A \supseteq B</math>

== 多元并集 ==

对集合 <math>A_1, A_2, \dots , A_n</math> ，由所有属于这些集合中任意一个的元素所构成的集合，叫做这些集合的'''并集'''('''union''')，记作 <math>A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n</math>。即 <math>A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n = \left\{ x \mid x \in A_1 \lor x \in A_2 \lor \dots \lor x \in A_n \right\}</math>。也记作 <math>\bigcup_{i=1}^n A_i</math> 。

在此基础上， 1 个集合的并集定义为集合自身， 0 个集合的并集定义为空集。

多个集合的并集也可以等价地定义为这些集合两两进行并集，由于满足结合律、交换律而顺序无关，也不需要区分二元运算和多元运算。

多元并集也可以欸定义在可数无穷或不可数无穷个集合上。

== 广义并集 ==

见[[广义并]]。


{{集合}}