并集

并集
术语名称	并集
英语名称	union
别名	并

并集(union)是对两个或多个集合，由所有属于这些集合中任意一个的元素构成的新的集合。

定义

并集
运算名称	并集
运算符号	[math]\displaystyle{ \cup }[/math]
Latex	\cup
运算对象	集合
运算元数	2
运算结果	集合
结构	布尔代数

对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，由所有属于集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 或属于集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的元素所构成的集合，叫做集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 与集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的并集(union)，简称并，记作 [math]\displaystyle{ A \cup B }[/math]。即： [math]\displaystyle{ A \cup B = \left\{ x \mid x \in A \lor x \in B \right\} }[/math]。

∪
字符	∪
Unicode码位	U+222A Union
Latex命令序列	\cup

性质

布尔代数的运算。

• 运算性质：
  • 结合律：对于任意集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] 和 [math]\displaystyle{ C }[/math]，有 [math]\displaystyle{ (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) }[/math]。
  • 交换律：对于任意集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math]，有 [math]\displaystyle{ A \cup B = B \cup A }[/math]。
  • 分配律：对于任意集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] 和 [math]\displaystyle{ C }[/math]，有 [math]\displaystyle{ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) }[/math]。
  • 吸收律：对于任意集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math]，有 [math]\displaystyle{ A \cap (A \cup B) = A }[/math]、[math]\displaystyle{ A \cup (A \cap B) = A }[/math]。
  • 德·摩根律：对于任意集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math]，有 [math]\displaystyle{ (A \cap B)^c = A^c \cup B^c }[/math]、[math]\displaystyle{ (A \cup B)^c = A^c \cap B^c }[/math]。
• 特殊值：
  • [math]\displaystyle{ A \cup A = A }[/math]
  • [math]\displaystyle{ A \cup \varnothing = A }[/math]
    • 空集是并集运算的单位元。
  • [math]\displaystyle{ A \cup U = U }[/math]
    • 全集是并集运算的零元。（若讨论范围存在全集）
• 包含关系：
  • [math]\displaystyle{ A \cup B \supseteq A }[/math]
    • [math]\displaystyle{ A \cup B = A \Leftrightarrow A \supseteq B }[/math]

多元并集

对集合 [math]\displaystyle{ A_1, A_2, \dots , A_n }[/math] ，由所有属于这些集合中任意一个的元素所构成的集合，叫做这些集合的并集(union)，记作 [math]\displaystyle{ A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n }[/math]。即 [math]\displaystyle{ A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n = \left\{ x \mid x \in A_1 \lor x \in A_2 \lor \dots \lor x \in A_n \right\} }[/math]。也记作 [math]\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^n A_i }[/math] 。

在此基础上， 1 个集合的并集定义为集合自身， 0 个集合的并集定义为空集。

多个集合的并集也可以等价地定义为这些集合两两进行并集，由于满足结合律、交换律而顺序无关，也不需要区分二元运算和多元运算。

广义并集

见广义并。

集合
特殊集合	空集 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、全集
关系	成员关系/属于 [math]\displaystyle{ \in }[/math]
	包含关系/子集/超集 [math]\displaystyle{ \subseteq }[/math]、真包含关系/真子集/真超集 [math]\displaystyle{ \subset }[/math]、相等关系 [math]\displaystyle{ = }[/math]
运算	基础运算	交集 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并集 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补集 [math]\displaystyle{ \bullet^\complement }[/math]（差集 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]）
	复合运算	对称差集 [math]\displaystyle{ \triangle }[/math]
	笛卡尔积运算	笛卡尔积 [math]\displaystyle{ \times }[/math]、笛卡尔幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]、幂集 [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(\bullet) }[/math]/[math]\displaystyle{ 2^\bullet }[/math]、映射的集合 [math]\displaystyle{ \bullet^\bullet }[/math]
	不交并运算	不相交并集 [math]\displaystyle{ \sqcup }[/math]
	商运算	商集 [math]\displaystyle{ \bullet/\sim }[/math]