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[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=幺半群
|eng_name=monoid
|aliases=单位半群,独异点
}}
'''幺半群'''('''monoid''')指一个集合和其上一个有[[结合性]]的二元[[运算]]及其[[幺元]]构成的代数系统。要求二元运算[[封闭性|封闭]]、可结合、有幺元。

== 定义 ==

=== 形式化定义 ===

对非空集合 <math>S</math> 及其上一个二元运算 <math>\cdot</math> ，若其满足以下'''幺半群公理'''('''monoid axioms''')：

* '''封闭性'''('''closure''')：<math>(\forall a, b \in S) (a\cdot b \in S)</math> ；
* '''结合性'''('''associativity''')：<math>(\forall a,b,c \in S) ((a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c))</math> ；
* 有'''幺元'''('''identity element''')：<math>(\exists e \in S) (\forall a \in S) (e\cdot a = a\cdot e = a)</math> 。

则构成的代数系统 <math>\langle S, \cdot, e \rangle</math> 称为一个'''幺半群'''('''monoid''')。

注：根据幺元的性质，存在则必然唯一，因此可以没有歧义地写成一个元素 <math>e</math> 。

注：根据上下文，可以在元组中省略幺元写作 <math>\langle S,\cdot \rangle</math> ，或省略幺元及运算写作 <math>S</math> 。

注：封闭性有时不被显式列出，用“集合上的运算”这一描述暗示封闭性。

=== 性质描述 ===

有幺元的[[半群]]称为幺半群。

== 举例 ==

* 自然数集上的加法，其幺元为 0 ，即 <math>\langle \mathbb{N}, +, 0 \rangle</math> 。
* 正整数集上的乘法，其幺元为 1 ，即 <math>\langle \mathbb{N}_{+}, \times, 1 \rangle</math> 。
* 给定集合幂集上的交（并），其幺元为集合本身（空集），即 <math>\langle \mathcal{P}(A), \cap, A\rangle</math> 和  <math>\langle \mathcal{P}(A), \cup, \varnothing\rangle</math> 。
* 某字母表上的串集上的连接，其幺元为空串，即 <math>\langle \Sigma^{*}, \cdot, \epsilon\rangle</math> 。

* 定义了二元运算的[[单点集]]是一个幺半群（严格地说是一个群），见[[平凡群]]。

抽象地，定义任意自然数个元素按顺序的累加、累乘或其它性质的运算的多元累积，都可以分成零个（得到幺元），一个（得到普通元素自身），两个（封闭二元运算），大于两个（结合性保证唯一）几种情况，这样的结构往往都要求先满足幺半群结构才能正常定义，所以幺半群在研究对象中是相当常见的结构。


{{群及相关代数系统}}

== 琐事 ==

=== 命名 ===

最初术语 monoid 用于指半群，不要求有单位元。虽然看上去似乎是 mono- 表示一，和单位元有某种对应，但词源上不是这样的。<ref>https://math.stackexchange.com/questions/156952/why-the-terminology-monoid</ref>

幺半群/单位半群是按结构起的名字，本身字面上和 monoid 不对应。对应的翻译是类群。<ref>https://www.zhihu.com/question/37100637</ref>另外 monoid 也译作独异点。