幺半群

幺半群(monoid)指一个集合和其上一个有结合性的二元运算及其幺元构成的代数系统。要求二元运算封闭、可结合、有幺元。

定义

对非空集合 [math]\displaystyle{ S }[/math] 及其上一个二元运算 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] ，若其满足以下幺半群公理(monoid axioms)：

封闭性(closure)：[math]\displaystyle{ (\forall a, b \in S) (a\cdot b \in S) }[/math] ；
结合性(associativity)：[math]\displaystyle{ (\forall a,b,c \in S) ((a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)) }[/math] ；
有幺元(identity element)：[math]\displaystyle{ (\exists e \in S) (\forall a \in S) (e\cdot a = a\cdot e = a) }[/math] 。

则构成的代数系统 [math]\displaystyle{ \langle S, \cdot, e \rangle }[/math] 称为一个幺半群(monoid)。

注：根据幺元的性质，存在则必然唯一，因此可以没有歧义地写成一个元素 [math]\displaystyle{ e }[/math] 。

注：根据上下文，可以在元组中省略幺元写作 [math]\displaystyle{ \langle S,\cdot \rangle }[/math] ，或省略幺元及运算写作 [math]\displaystyle{ S }[/math] 。

注：封闭性有时不被显式列出，用“集合上的运算”这一描述暗示封闭性。

有幺元的半群称为幺半群。

自然数集上的加法，其幺元为 0 ，即 [math]\displaystyle{ \langle \mathbb{N}, +, 0 \rangle }[/math] 。
正整数集上的乘法，其幺元为 1 ，即 [math]\displaystyle{ \langle \mathbb{N}_{+}, \times, 1 \rangle }[/math] 。
给定集合幂集上的交（并），其幺元为集合本身（空集），即 [math]\displaystyle{ \langle \mathcal{P}(A), \cap, A\rangle }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \langle \mathcal{P}(A), \cup, \varnothing\rangle }[/math] 。
某字母表上的串集上的连接，其幺元为空串，即 [math]\displaystyle{ \langle \Sigma^{*}, \cdot, \epsilon\rangle }[/math] 。

抽象地，定义任意自然数个元素按顺序的累加、累乘或其它性质的运算的多元累积，都可以分成零个（得到幺元），一个（得到普通元素自身），两个（封闭二元运算），大于两个（结合性保证唯一）几种情况，这样的结构往往都要求先满足幺半群结构才能正常定义，所以幺半群在研究对象中是相当常见的结构。

最初术语 monoid 用于指半群，不要求有单位元。虽然看上去似乎是 mono- 表示一，和单位元有某种对应，但词源上不是这样的。^[1]

幺半群/单位半群是按结构起的名字，本身字面上和 monoid 不对应。对应的翻译是类群。^[2]另外 monoid 也译作独异点。