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[[分类:环与模与域]]
[[分类:环实例]]
{{InfoBox
|name=幺半群环
|eng_name=monoid ring
}}
{{非标准翻译}}
'''幺半群环'''('''monoid ring''')指一个[[环]]和一个[[幺半群]]之间运算结果所构成的环。是[[多项式环]]的一种推广。

== 定义 ==

对环 <math>R</math> 与幺半群 <math>M</math> ，记集合 <math>R[M]</math> ，其元素具有形式 <math>\sum_{m\in M} a_m\cdot m</math> ，且其中“系数” <math>a_m\in R</math> 且仅有限多非零。

定义其相等关系为 <math>(\forall m\in M)(a_m = b_m)</math> ，并定义加法 <math>\sum_{m\in M} (a_m + b_m) \cdot m</math> 与乘法 <math>\sum_{m\in M} (\sum_{m_1 m_2=M} a_{m_1} b_{m_2}) \cdot m</math> 。

则构成一个环，称为环 <math>R</math> 上幺半群 <math>M</math> 的'''幺半群环'''('''monoid ring''' of <math>M</math> over <math>R</math>)，通常记为 <math>R[M]</math> 。

注：按通常习惯，这个集合也可以记作 <math>RM</math> ，但是用方括号时相当于指出是幺半群环。

== 性质 ==

多项式环 <math>R[x]</math> 同构于自然数上的幺半群环，即 <math>R[\mathbb{N}]</math> 。实际上多项式环 <math>R[x]</math> 结构上就是 <math>R</math> 在乘法幺半群 <math>\{x^n\}=\{1,x,x^2,\dots\}</math> 上的半群环。


{{环与模与域}}