幺半群环
| 幺半群环 | |
|---|---|
| 术语名称 | 幺半群环 |
| 英语名称 | |
| 别名 | monoid ring |
模板:非标准译名 幺半群环(monoid ring)指一个环和一个幺半群之间运算结果所构成的环。是多项式环的一种推广。
定义
对环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 与幺半群 [math]\displaystyle{ M }[/math] ，记集合 [math]\displaystyle{ R[M] }[/math] ，其元素具有形式 [math]\displaystyle{ \sum_{m\in M} a_m\cdot m }[/math] ，且其中“系数” [math]\displaystyle{ a_m\in R }[/math] 且仅有限多非零。
定义其相等关系为 [math]\displaystyle{ (\forall m\in M)(a_m = b_m) }[/math] ，并定义加法 [math]\displaystyle{ \sum_{m\in M} (a_m + b_m) \cdot m }[/math] 与乘法 [math]\displaystyle{ \sum_{m\in M} (\sum_{m_1 m_2=M} a_{m_1} b_{m_2}) \cdot m }[/math] 。
则构成一个环，称为环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 上幺半群 [math]\displaystyle{ M }[/math] 的幺半群环(monoid ring of [math]\displaystyle{ M }[/math] over [math]\displaystyle{ R }[/math])，通常记为 [math]\displaystyle{ R[M] }[/math] 。
注：按通常习惯，这个集合也可以记作 [math]\displaystyle{ RM }[/math] ，但是用方括号时相当于指出是幺半群环。
性质
多项式环 [math]\displaystyle{ R[x] }[/math] 同构于自然数上的幺半群环，即 [math]\displaystyle{ R[\mathbb{N}] }[/math] 。实际上多项式环 [math]\displaystyle{ R[x] }[/math] 结构上就是 [math]\displaystyle{ R }[/math] 在乘法幺半群 [math]\displaystyle{ \{x^n\}=\{1,x,x^2,\dots\} }[/math] 上的半群环。