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[[分类:序列]]
{{InfoBox
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|aliases=项,term
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'''序列'''('''sequence''')表示一组有序的对象构成的数学对象。这些数学对象有序且以自然数（或整数）编号，因此只能含有[[可数集|可数个]]对象。

== 定义 ==

由一组按照特定顺序排列的可数个数学对象构成的数学对象叫做'''序列'''('''sequence''')，这些数学对象称为序列的'''元素'''('''element''')或'''项'''('''term''')。

对象的个数叫做序列的'''长度'''('''length''')。
序列的长度可以是有限的，与某个集合 <math>\{1,2,\cdots,n\}</math> 一一对应，称为'''有限序列'''/'''有穷序列'''('''finite sequence''')；
也可以与自然数集一一对应，称为'''无限序列'''/'''无穷序列'''('''infinite sequence''')。

由于不会给下标集合的大小带来本质区别，有时也允许：
* 对应关系不从 1 开始
* 对应于全体整数集，由于此时是向两侧无限扩展，也称为'''双向无穷序列'''('''bi-infinite sequence''')。

在命名中，数列通常简称为'''列'''，特别是在其中元素来自于同一类数学对象时。如数的序列称为'''数列'''，点的序列称为'''点列'''。

== 性质 ==

# 有序性：元组中的元素按特定顺序排列，存在先后关系。
# 可重复：元组中的元素可以重复。
# 可索引：元组中的元素位置与自然数的子集一一对应。

== 表示 ==

由 <math>n</math> 个元素 <math>a_1,a_2,\cdots,a_n</math> 构成的序列记为 <math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math> ，在不会发生歧义时，可以省略括号。
当存在某种根据下标表示每个序列元素的方法（称为'''通项'''） <math>a_i</math> 时，序列也可以记作 <math>(a_i)_{i=1}^n</math> ，

由自然数个元素 <math>a_1,a_2,\cdots</math> 构成的序列记为 <math>(a_1,a_2,\dots)</math> ，在不会发生歧义时，可以省略括号。
当存在某种根据下标 <math>i</math> 表示每个序列元素的方法（通项） <math>a_i</math> 时，序列也可以记作 <math>(a_i)_{i=0}^\infty</math> 。

对于非标准下标范围，也可以按照是否向两侧延伸，进行相应的表示变化。如 <math>(a_i)_{i=m}^n</math> 即 <math>(a_m,a_{m+1},\cdots,a_n)</math> 、 <math>(a_i)_{i=-\infty}^n</math> 即 <math>(\cdots,a_{n-1},a_n)</math> 、 <math>(a_i)_{i=-\infty}^{+\infty}</math><ref>按一般习惯，记号 <math>\infty</math> 在表示自然数中的无穷大时不写正号，如果涉及整数由于要区分两个方向，正负号都必须写出来，除非表示同时趋向于两侧。</ref> 即 <math>(\cdots,a_{-1},a_0,a_1,\cdots)</math> 。

== 集合定义 ==

基于集合定义序列，并认为序列是与集合不同的类型，如 <math>(a_1,a_2,\dots,a_n)</math> 可定义为 <math>\{\{a_1\}, \{a_1,a_2\}, \dots, \{a_1,a_2,\dots,a_n\} \}</math> 。

== 与元组的关系 ==

需要注意的是，有限序列与[[元组]]具有相同的形式，但是序列中的元素通常来自同一类数学对象，并建模为来自自然数子集的[[双射]]，并且常常可以按照数学对象的特征被扩展到无限序列；而元组中的元素通常是每个位置上来自固定的数学对象类别，比如第一个元素是数、第二、三个元素是点、第四个元素是集合等，由于这种类别本身难以排列成与自然数一一对应的无限序列，使用元组这一术语时往往无法自然地扩展到无穷，因此一般不允许出现无穷长度的元组。


{{集合}}