序列

序列
术语名称	序列
英语名称	sequence

元素
术语名称	元素
英语名称	element
别名	项, term

序列(sequence)表示一组有序的对象构成的数学对象。这些数学对象有序且以自然数（或整数）编号，因此只能含有可数个对象。

定义

由一组按照特定顺序排列的可数个数学对象构成的数学对象叫做序列(sequence)，这些数学对象称为序列的元素(element)或项(term)。

对象的个数叫做序列的长度(length)。 序列的长度可以是有限的，与某个集合 [math]\displaystyle{ \{1,2,\cdots,n\} }[/math] 一一对应，称为有限序列/有穷序列(finite sequence)； 也可以与自然数集一一对应，称为无限序列/无穷序列(infinite sequence)。

由于不会给下标集合的大小带来本质区别，有时也允许：

• 对应关系不从 1 开始
• 对应于全体整数集，由于此时是向两侧无限扩展，也称为双向无穷序列(bi-infinite sequence)。

在命名中，数列通常简称为列，特别是在其中元素来自于同一类数学对象时。如数的序列称为数列，点的序列称为点列。

性质

1. 有序性：元组中的元素按特定顺序排列，存在先后关系。
2. 可重复：元组中的元素可以重复。
3. 可索引：元组中的元素位置与自然数的子集一一对应。

表示

由 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个元素 [math]\displaystyle{ a_1,a_2,\cdots,a_n }[/math] 构成的序列记为 [math]\displaystyle{ (a_1,a_2,\cdots,a_n) }[/math] ，在不会发生歧义时，可以省略括号。 当存在某种根据下标表示每个序列元素的方法（称为通项） [math]\displaystyle{ a_i }[/math] 时，序列也可以记作 [math]\displaystyle{ (a_i)_{i=1}^n }[/math] ，

由自然数个元素 [math]\displaystyle{ a_1,a_2,\cdots }[/math] 构成的序列记为 [math]\displaystyle{ (a_1,a_2,\dots) }[/math] ，在不会发生歧义时，可以省略括号。 当存在某种根据下标 [math]\displaystyle{ i }[/math] 表示每个序列元素的方法（通项） [math]\displaystyle{ a_i }[/math] 时，序列也可以记作 [math]\displaystyle{ (a_i)_{i=0}^\infty }[/math] 。

对于非标准下标范围，也可以按照是否向两侧延伸，进行相应的表示变化。如 [math]\displaystyle{ (a_i)_{i=m}^n }[/math] 即 [math]\displaystyle{ (a_m,a_{m+1},\cdots,a_n) }[/math] 、 [math]\displaystyle{ (a_i)_{i=-\infty}^n }[/math] 即 [math]\displaystyle{ (\cdots,a_{n-1},a_n) }[/math] 、 [math]\displaystyle{ (a_i)_{i=-\infty}^{+\infty} }[/math] 即 [math]\displaystyle{ (\cdots,a_{-1},a_0,a_1,\cdots) }[/math] 。

集合定义

基于集合定义序列，并认为序列是与集合不同的类型，如 [math]\displaystyle{ (a_1,a_2,\dots,a_n) }[/math] 可定义为 [math]\displaystyle{ \{\{a_1\}, \{a_1,a_2\}, \dots, \{a_1,a_2,\dots,a_n\} \} }[/math] 。

与元组的关系

需要注意的是，有限序列与元组具有相同的形式，但是序列中的元素通常来自同一类数学对象，并建模为来自自然数子集的双射，并且常常可以按照数学对象的特征被扩展到无限序列；而元组中的元素通常是每个位置上来自固定的数学对象类别，比如第一个元素是数、第二、三个元素是点、第四个元素是集合等，由于这种类别本身难以排列成与自然数一一对应的无限序列，使用元组这一术语时往往无法自然地扩展到无穷，因此一般不允许出现无穷长度的元组。

集合
特殊集合	空集 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、全集
关系	成员关系/属于 [math]\displaystyle{ \in }[/math]
	包含关系/子集/超集 [math]\displaystyle{ \subseteq }[/math]、真包含关系/真子集/真超集 [math]\displaystyle{ \subset }[/math]、相等关系 [math]\displaystyle{ = }[/math]
运算	基础运算	交集 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并集 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补集 [math]\displaystyle{ \bullet^\complement }[/math]（差集 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]）
	复合运算	对称差集 [math]\displaystyle{ \triangle }[/math]
	笛卡尔积运算	笛卡尔积 [math]\displaystyle{ \times }[/math]、笛卡尔幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]、幂集 [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(\bullet) }[/math]/[math]\displaystyle{ 2^\bullet }[/math]、映射的集合 [math]\displaystyle{ \bullet^\bullet }[/math]
	不交并运算	不交并 [math]\displaystyle{ \sqcup }[/math]
	商运算	商集 [math]\displaystyle{ \bullet/\sim }[/math]