序列

序列
术语名称	序列
英语名称	sequence

元素
术语名称	元素
英语名称	element
别名	项, term

序列(sequence)表示一组有序的对象构成的数学对象。这些数学对象有序且以正整数（或自然数、整数）编号，因此只能含有可数个对象。

定义

由一组按照特定顺序排列的可数个数学对象构成的数学对象叫做序列(sequence)，这些数学对象称为序列的元素(element)或项(term)。

对象的个数叫做序列的长度(length)，序列的长度总是可数的：

• 序列的长度可以是有限的，此时其中的位置与集合 [math]\displaystyle{ \{1,2,\dots,n\} }[/math] 一一对应，称为有限序列/有穷序列(finite sequence)；
• 序列的长度可以是可数无穷的，此时其中的位置与正整数集 [math]\displaystyle{ \mathbb{N}^* = \{1,2,\dots\} }[/math] 一一对应，称为无限序列/无穷序列(infinite sequence)。

对序列中一个元素，其位置所对应的正整数称为其下标(index)，全体下标构成下标集合(index set)。下标集合的大小与对象个数相同，总是可数集。

通常使用记号 [math]\displaystyle{ a_n }[/math] （或 [math]\displaystyle{ b_n }[/math] 、 [math]\displaystyle{ c_n }[/math] 等）表示序列中的第 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个元素，这一记号称为序列的通项符号。若对任意下标 [math]\displaystyle{ n }[/math] ，序列中的第 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个元素可以表达为关于 [math]\displaystyle{ n }[/math] 的公式 [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] ，这一公式称为序列的通项公式。

在命名中，数列通常简称为列，特别是在其中元素来自于同一类数学对象时。如数的序列称为数列，点的序列称为点列。

等价定义

自然数的子集到一系列元素的映射称为序列，其中自然数的子集称为下标集合，这些元素的原像称为其下标。

变体

序列的结构本质是其中元素有序性和可索引性，在下标集合有序且可数的情况下通常不会影响序列的结构，因此在附加有特殊说明的情况下，允许定义一个（广义上的）序列使其：

• 下标不从 1 开始，而是自然数集的某个连续子集。一个典型的情况是下标从 0 开始的序列。
• 下标是全体整数集，此时序列向两侧无限扩展，也称为双向无穷序列(bi-infinite sequence)。

性质

1. 有序性：序列中的元素按特定顺序排列，存在先后关系。
2. 可重复：序列中的元素可以重复。
3. 可索引：序列中的元素位置与自然数的子集一一对应。（或者说位置与自然数的子集间存在双射，存在从位置到自然数的单射。）

表示

由 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个元素 [math]\displaystyle{ a_1,a_2,\cdots,a_n }[/math] 构成的有限序列记为 [math]\displaystyle{ (a_1,a_2,\cdots,a_n) }[/math] ，在不会发生歧义时，可以省略括号。 且通常的出现中，序列总是省略括号。 在一些资料中，通项公式为 [math]\displaystyle{ f(i) }[/math] 时，有限序列也可以记作 [math]\displaystyle{ (f(i))_{i=1}^n }[/math] ，

类似地，由自然数个元素 [math]\displaystyle{ a_1,a_2,\cdots }[/math] 构成的无穷序列记为 [math]\displaystyle{ (a_1,a_2,\dots) }[/math] ，在不会发生歧义时，可以省略括号。 且通常的出现中，序列总是省略括号。 在一些资料中，通项公式为 [math]\displaystyle{ f(i) }[/math] 时，无穷序列也可以记作 [math]\displaystyle{ (a_i)_{i=0}^\infty }[/math] 。

对于非标准下标范围，也可以按照是否向两侧延伸，进行相应的表示变化。如 [math]\displaystyle{ (a_i)_{i=m}^n }[/math] 即 [math]\displaystyle{ (a_m,a_{m+1},\cdots,a_n) }[/math] 、 [math]\displaystyle{ (a_i)_{i=-\infty}^n }[/math] 即 [math]\displaystyle{ (\cdots,a_{n-1},a_n) }[/math] 、 [math]\displaystyle{ (a_i)_{i=-\infty}^{+\infty} }[/math] 即 [math]\displaystyle{ (\cdots,a_{-1},a_0,a_1,\cdots) }[/math] 。

集合论建模

可以基于集合定义序列，并认为序列是与集合不同的类型。如 [math]\displaystyle{ (a_1,a_2,\dots,a_n) }[/math] 可定义为 [math]\displaystyle{ \{(1, a_1), (2,a_2), \dots \} }[/math] 。这也是映射 [math]\displaystyle{ f: n\mapsto a_n }[/math] 的集合定义形式。

与元组的关系

需要注意的是，有限序列与元组具有相同的形式，但是序列中的元素通常来自同一类数学对象，并建模为来自自然数子集的映射，并且常常可以按照数学对象的特征被扩展到无限序列；而元组中的元素通常是每个位置上来自固定的数学对象类别，比如第一个元素是数、第二、三个元素是点、第四个元素是集合等，由于这种类别本身难以排列成与自然数一一对应的无限序列，使用元组这一术语时往往无法自然地扩展到无穷，因此一般不允许出现无穷长度的元组。

集合
特殊集合	空集 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、全集
关系	成员关系/属于 [math]\displaystyle{ \in }[/math]
	包含关系/子集/超集 [math]\displaystyle{ \subseteq }[/math]、真包含关系/真子集/真超集 [math]\displaystyle{ \subset }[/math]、相等关系 [math]\displaystyle{ = }[/math]
运算	基础运算	交集 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并集 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补集 [math]\displaystyle{ \bullet^\complement }[/math]（差集 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]）
	复合运算	对称差集 [math]\displaystyle{ \bigtriangleup }[/math]
	笛卡尔积运算	笛卡尔积 [math]\displaystyle{ \times }[/math]、笛卡尔幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]、幂集 [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(\bullet) }[/math]/[math]\displaystyle{ 2^\bullet }[/math]、映射的集合 [math]\displaystyle{ \bullet^\bullet }[/math]
	不交并运算	不相交并集 [math]\displaystyle{ \sqcup }[/math]
	商运算	商集 [math]\displaystyle{ \bullet/\sim }[/math]