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[[分类:序数理论]]{{DEFAULTSORT:xu4xing2}}
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|keywords=序型, 序同构
|description=本文介绍序型的定义、性质和应用，包括序型作为序同构等价类的概念、良序集序型与序数的对应关系，以及各种经典序型在数学中的重要性。
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|published_time=2025-04-20
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|name=序型
|eng_name=order type
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'''序型'''('''order type''')是对序的抽象刻画。对[[偏序]]及更强的序，称[[序同构]]的两个有序集具有相同的序型。

由于[[良序集]]的序型与[[序数]]一一对应，一般多研究良序集的序型。

== 定义 ==

对两个偏序集 <math>(P,\preceq_P)</math> 和 <math>(Q,\preceq_Q)</math> ，若存在序同构 <math>f: X\to Y</math> （即保持序关系地将一个集合元素一一对应到另一个集合上），则称偏序集 <math>(P,\preceq_P)</math> 与 <math>(Q,\preceq_Q)</math> 具有相同的'''序型'''(have the same '''order type''')。或称所有序同构的有序集构成的等价类为一个序型。

良序集的序型与序数一一对应，也称对应的序数为这一良序集的'''序型'''。特别地，在 von Neumann 序数构造下，良序集 <math>(n, \in_n)</math> 的 <math>n</math> 是 von Neumann 序数，称 <math>n</math> 为 <math>(n, \in_n)</math> 的序型。

== 性质 ==

* 序型是序同构中的不变量，两个有序集有相同序型当且仅当它们序同构。可以认为序型是有序集结构的抽象，忽略具体元素。
* 良序集的序型有特别良好的性质：
** 每个良序集都唯一对应一个[[序数]]，称为该良序集的序型；
** 在 [[von Neumann 序数]]定义下，序数本身就是具有该序型的良序集；
** [[良序定理]]断言每个集合都可以良序化，因此每个集合基数都对应多个序型。

== 经典序型例子 ==

* 有限序型
** <math>0</math> ：空集的序型。
** <math>1</math> ：单元素集的序型。
** <math>n</math> ： n 个元素的全序集的序型。
* 可数无限序型
** <math>\omega</math> ：自然数集(0,1,2,3,...)的序型。
** <math>^* \omega</math> ：负整数集(...,-3,-2,-1)的序型。
** <math>\zeta</math> ：整数集(...,-2,-1,0,1,2,...)的序型。
** <math>\eta</math> ：有理数集的序型。
* 不可数序型
** <math>\lambda</math> ：实数集的序型。
** <math>\Omega</math> ：最小不可数序数对应的序型。

== 序型运算 ==

=== 对偶 ===

设 <math>\alpha</math> 是一个序型， <math>^* \alpha</math> 定义为其[[对偶（序理论）|对偶]]序的序型。

=== 加法 ===

设 <math>\alpha,\beta</math> 是两个序型， <math>\alpha+\beta</math> 定义为将 <math>\beta</math> 类型的集合接在 <math>\alpha</math> 类型的集合之后构成的新序型。

==== 性质 ====

* 不满足交换律：如 <math>(\mathbb{N},<)</math> 和 <math>\{a\}</math> 相连可以构成 <math>\{0,1,2,\cdots\}\cup \{a\}</math> 上的两个全序 <math>0<1<2<\cdots<a</math> 和 <math>a<0<1<2<\cdots</math> ，可以看到前者有一个最大元而后者没有，两个序结构不同。
* 满足结合律：相当于多个集合上的序按顺序接在一起，结合顺序不影响得到的序。

=== 乘法 ===

设 <math>\alpha,\beta</math> 是两个序型， <math>\alpha\cdot\beta</math> 定义为按[[反字典序]]排列的[[笛卡尔积]] <math>\alpha\times\beta</math> 。

性质：
* 不满足交换律：如 <math>(\mathbb{N},<)</math> 和 <math>(\{0,1\},<)</math> 在笛卡尔积 <math>\{0,1\}\times\{1,2,\cdots\}</math> 上的序，[[字典序]] <math>(0,0)<(0,1)<(1,0)<(1,1)<(2,0)<(2,1)<\cdots</math> 中，除最小元外都有其前趋元素，反字典序 <math>(0,0)<(1,0)<(2,0)<\cdots<(0,1)<(1,1)<(2,1)<\cdots</math> 中 <math>(0,1)</math> 前面是全部形如 <math>(a,0)</math> 的元素，找不到其前趋。
* 满足对加法的左分配律： <math>\alpha\cdot(\beta+\gamma)=\alpha\cdot\beta+\alpha\cdot\gamma</math> ，两种表达对应相同的结构，只是操作顺序差别。
* 不满足对加法的右分配律。