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[[分类:序数理论]]{{DEFAULTSORT:xu4shu4}}
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|keywords=序数, 后继序数, 极限序数, 冯诺依曼序数
|description=本文介绍序数的定义、分类、性质和构造，包括冯诺依曼序数构造，以及常见的特殊序数。
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|published_time=2025-10-29
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|name=序数
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'''序数'''('''ordinal number''')指用于表示[[良序集]]在[[序同构]]下[[等价类]]（[[序型]]）的数，是自然数的推广。

有限良序集合中序的结构完全由元素个数确定，对应于[[自然数]]，称为'''有限序数'''；无限良序集的序结构不是自然数，称为'''超限序数'''。一种常见的序数构造为 [[von Neumann 序数]]。

区别于[[基数]]。基数衡量集合大小，序数刻画集合顺序结构。

== 定义 ==

良序集被序同构划分为等价类，等价类可以通过扩展自然数表示，称为'''序数'''('''ordinal number''', 简称 '''ordinal''')。两个良序集有相同的序数当且仅当它们序同构。

== 特征与生成 ==

作为良序关系等价类的代表选取，序数不是只有一种构造方式，但需要其能够不重复、不遗漏地代表良序在序同构下的等价类。

考虑任意良序集，可以分为三种情况：
* [[空集]]：没有元素。
* 有[[最大元]]：从良序集中去掉最大元，仍然是一个良序，相当于是在一个序数上求后继。
* 非空且无最大元：选择其任意真前段，都是良序，而且相同结构的无最大元情况有对应结构的真前段，可通过所有真前段序型定义这一序型。

因此，通过以下方式生成的序数可以覆盖任意良序集的可能构造：
* 递推起点：空集的序型。
* 对每个序数 <math>x</math> 可以取后继 <math>S(x)</math> ；
* 对序数构成的良序序列 <math>\{\alpha_i\}_{i \in I}</math> 可以取上确界 <math>\sup_{i \in I} \alpha_i</math> 。也称极限。
其中后继和上确界都“大于”其基于的其他序数。

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通过取后继得到的序数称为'''后继序数'''('''successor ordinal''')，通过对无最大值的序列取上确界得到的序数称为'''极限序数'''('''limit ordinal''')。

== von Neumann 序数 ==

von Neumann 序数是在[[正则公理]]下，通过以下方式构造出的序数。
* 空集的序型表示为 <math>0=\varnothing</math> ：
* 后继序数 <math>S(a) = a \cup \{a\}</math> ；
* 极限序数 <math>\sup A = \bigcup A</math> 。
并定义序数上的序 <math>\leq</math> 满足 <math>a\leq b\leftrightarrow a\subseteq b</math> 。（需注意，全体序数是一个[[真类]]，这是真类上的序，不能默认为集合上）

== 相关关系和运算 ==

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== 性质 ==

* 良序性：所有序数间有一个良序。
* 完备性：任何序数集合都有上确界。
* von Neumann 序数构造是传递性的集合，或称传递集： <math>x\in y, y\in z \rightarrow x\in z</math> 。
* [[三歧性]]： <math>x\in y, x=y, y\in x</math> 有且仅有一个成立。
* 后继运算：任何序数有唯一后继。
* 极限运算：任何无最大元的序数序列都有极限。
* [[超限归纳法]]
* 超限递归：可以通过初始元素、后继序数对前趋元素的依赖、极限序数与小于其的元素的依赖递归地定义函数。

== 重要类型 ==

* '''有限序数'''('''finite ordinal''')：自然数 <math>0,1,2,3,\cdots</math> ，代表对应个元素的良序。
* '''可数序数'''('''countable ordinal''')：指序数中涉及的集合与[[自然数集]]能够建立双射（[[基数|等势]]）。
** [[第一个超限序数]] <math>\omega</math> ：超过全体自然数的第一个序数，是[[自然数集]]本身的序结构。
** 自然数上可以存在其他序结构，比如全体偶数后接全体奇数，这里 1 没有前趋元素。自然数中除最小元外不存在一个没有前趋的元素，因此结构不同。
** <math>\varepsilon_0</math> ：满足 <math>\omega^\alpha=\alpha</math> 的第一个序数。
* '''不可数序数'''：序数中涉及的集合是无法与自然数集建立双射的无限集。
** [[第一个不可数序数]] <math>\omega_1</math> ：最小的不可数序数。
* '''初始序数'''('''initial ordinal''')：不与更小的序数等势的序数。


{{序数}}