查看“︁开方”︁的源代码

[[分类:数的运算]]
{{InfoBox
|name=开方
|eng_name=root extraction
}}
{{InfoBox
|name=根指数
|eng_name=index
|aliases=degree
}}
{{InfoBox
|name=被开方数
|eng_name=radicand
}}
{{InfoBox
|name=根式
|eng_name=radical expression
}}
{{InfoBox
|name=n次方根
|eng_name=nth root
}}
{{InfoBox
|name=n次算术根
|eng_name=principal nth root
|aliases=n次算术方根
}}
{{InfoBox
|name=根号
|eng_name=radix
|aliases=radical symbol
}}
'''开方'''('''root extraction''')是一个二元运算。

开方定义为[[乘方]]对底数的[[逆运算]]。

本条目限制在实数范围。对其他更复杂数系，以及其他数以外的数学对象的除法，参考各自的条目。

== 描述 ==

{{Operation
|name=开方
|symbol=<math>\sqrt[\bullet]{\bullet}</math>
|latex=\sqrt[]{}
|operand=数
|result=数
}}
表达一个数被拆分成某数指定次自乘的运算称为'''开方'''('''root extraction''')。
其中，被拆分的数称为'''被开方数'''('''radicand''')，指示自乘次数的数被称为'''根指数'''('''index'''/'''degree''')。

由于开方定义为乘方的逆运算，且可以转换为分数指数的乘方，根式一般要求被开方数是实数、根指数是正整数，在这个范围以外的通常不会写成开方的形式，而是使用带有分数指数的幂来表达。

实数范围内：如果根指数为奇数，符合这一条件的根只会有一个，且与被开方数同号；如果根指数为偶数，当被开方数为正数时，符合这一条件的根有两个且互为相反数，为 0 时只有 0 自身，为负数时不存在。数 <math>a</math> 作为被开方数、数 <math>n</math> 作为根指数时，将所有满足这一条件的结果称为 '''<math>a</math> 的 <math>n</math> 次方根''' ('''<math>n</math>th roots of <math>a</math>''') ，并将其中奇根指数下的结果以及偶根指数下两个根中的正的结果，称为 '''<math>a</math> 的 <math>n</math> 次算术根''' ('''the (principal) <math>n</math>th root of <math>a</math>''') 并记作 <math>\sqrt[n]{a}</math> 。
（复数范围内 <math>n</math> 次方根一定有 <math>n</math> 个，开方会成为[[多值函数]]。）

{{CharMetaInfo
|char=&#x221A;
|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+221A|Square Root}}
|latex=\sqrt{}
}}

特别地：
* 根指数为 2 的开方运算称为'''[[开平方]]'''运算，对应的 2 次方根称为 '''<math>a</math> 的平方根'''('''square roots of <math>a</math>''') ， 2 次算术根也称为 '''<math>a</math> 的算术平方根''' ('''the (principle) square root of <math>a</math>''')，简记作 <math>\sqrt{a}</math> ；
* 根指数为 3 的开方运算称为'''[[开立方]]'''运算，对应的 3 次方根，实数范围内即是 3 次算术根，称为 '''<math>a</math> 的立方根''' ('''the cube root of <math>a</math>''')。

== 定义 ==

=== 自然数上的开方 ===

对自然数 <math>a</math> 和 <math>n</math> ，若 <math>(\exists c \in N)(c ^ n = a)</math> 则可证明其（自然数范围内）唯一，记 <math>c = \sqrt[n]{a}</math> ，此时 <math>a</math> 和 <math>n</math> 之间的这种运算，称为自然数的'''开方'''。

自然数、整数、甚至有理数、实数，对开方都不封闭。
* 说自然数、整数、有理数的开方时，会根据上下文有所区别：有时是指结果还在自然数上的部分运算，有时陪域被自动放大到实数范围用根号表示，有时指的是用小数近似。


{{超运算}}

== 琐事 ==

=== 名称 ===

* 结构上，“n次方根”是定语“n次方”加上中心词“根”，这里的“根”与多项式的根是同一个词。“方”在有其他修饰时可以省略。不指明具体次数时，也直接使用“方根”。
* 习惯上， root 如果加复数则指全部的根，如果用单数并加“the”则指算术根。