开方
| 开方 | |
|---|---|
| 术语名称 | 开方 |
| 英语名称 | root extraction |
| 根指数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 根指数 |
| 英语名称 | index |
| 别名 | degree |
| 被开方数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 被开方数 |
| 英语名称 | radicand |
| 根式 | |
|---|---|
| 术语名称 | 根式 |
| 英语名称 | radical expression |
| n次方根 | |
|---|---|
| 术语名称 | n次方根 |
| 英语名称 | nth root |
| n次算术根 | |
|---|---|
| 术语名称 | n次算术根 |
| 英语名称 | principal nth root |
| 别名 | n次算术方根 |
| 根号 | |
|---|---|
| 术语名称 | 根号 |
| 英语名称 | radix |
| 别名 | radical symbol |
开方(root extraction)是一个二元运算。
本条目限制在实数范围。对其他更复杂数系，以及其他数以外的数学对象的除法，参考各自的条目。
描述
| 开方 | |
|---|---|
| 运算名称 | 开方 |
| 运算符号 | [math]\displaystyle{ \sqrt[\bullet]{\bullet} }[/math] |
| Latex | [[LatexCmd::\sqrt[]{}]] |
| 运算对象 | 数 |
| 运算元数 | 2 |
| 运算结果 | 数
|
表达一个数被拆分成某数指定次自乘的运算称为开方(root extraction)。 其中，被拆分的数称为被开方数(radicand)，指示自乘次数的数被称为根指数(index/degree)。
由于开方定义为乘方的逆运算，且可以转换为分数指数的乘方，根式一般要求被开方数是实数、根指数是正整数，在这个范围以外的通常不会写成开方的形式，而是使用带有分数指数的幂来表达。
实数范围内：如果根指数为奇数，符合这一条件的根只会有一个，且与被开方数同号；如果根指数为偶数，当被开方数为正数时，符合这一条件的根有两个且互为相反数，为 0 时只有 0 自身，为负数时不存在。数 [math]\displaystyle{ a }[/math] 作为被开方数、数 [math]\displaystyle{ n }[/math] 作为根指数时，将所有满足这一条件的结果称为 [math]\displaystyle{ a }[/math] 的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 次方根 ([math]\displaystyle{ n }[/math]th roots of [math]\displaystyle{ a }[/math]) ，并将其中奇根指数下的结果以及偶根指数下两个根中的正的结果，称为 [math]\displaystyle{ a }[/math] 的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 次算术根 (the (principal) [math]\displaystyle{ n }[/math]th root of [math]\displaystyle{ a }[/math]) 并记作 [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a} }[/math] 。 （复数范围内 [math]\displaystyle{ n }[/math] 次方根一定有 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个，开方会成为多值函数。）
| √ | |
|---|---|
| 字符 | √ |
| Unicode码位 | U+221A Square Root
|
| Latex命令序列 | \sqrt{}
|
特别地：
- 根指数为 2 的开方运算称为开平方运算，对应的 2 次方根称为 [math]\displaystyle{ a }[/math] 的平方根(square roots of [math]\displaystyle{ a }[/math]) ， 2 次算术根也称为 [math]\displaystyle{ a }[/math] 的算术平方根 (the (principle) square root of [math]\displaystyle{ a }[/math])，简记作 [math]\displaystyle{ \sqrt{a} }[/math] ；
- 根指数为 3 的开方运算称为开立方运算，对应的 3 次方根，实数范围内即是 3 次算术根，称为 [math]\displaystyle{ a }[/math] 的立方根 (the cube root of [math]\displaystyle{ a }[/math])。
定义
自然数上的开方
对自然数 [math]\displaystyle{ a }[/math] 和 [math]\displaystyle{ n }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ (\exists c \in N)(c ^ n = a) }[/math] 则可证明其（自然数范围内）唯一，记 [math]\displaystyle{ c = \sqrt[n]{a} }[/math] ，此时 [math]\displaystyle{ a }[/math] 和 [math]\displaystyle{ n }[/math] 之间的这种运算，称为自然数的开方。
自然数、整数、甚至有理数、实数，对开方都不封闭。
- 说自然数、整数、有理数的开方时，会根据上下文有所区别：有时是指结果还在自然数上的部分运算，有时陪域被自动放大到实数范围用根号表示，有时指的是用小数近似。
| 超运算 [math]\displaystyle{ a[n]b }[/math] / [math]\displaystyle{ a\uparrow\dots\uparrow b }[/math] | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 级别 [math]\displaystyle{ n }[/math] | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| 超运算 | 后继 | 加法 | 乘法 | 乘方 | 超幂/幂塔/迭代幂次 | 广义迭代幂次 | … |
| 对 [math]\displaystyle{ a }[/math] 逆运算 | 前趋 | 减法 | 除法 | 开方 | 超开方 | … | |
| 对 [math]\displaystyle{ b }[/math] 逆运算 | 对数 | 超对数 | … | ||||
琐事
名称
- 结构上，“n次方根”是定语“n次方”加上中心词“根”，这里的“根”与多项式的根是同一个词。“方”在有其他修饰时可以省略。不指明具体次数时，也直接使用“方根”。
- 习惯上， root 如果加复数则指全部的根，如果用单数并加“the”则指算术根。