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[[分类:序理论]]{{DEFAULTSORT:ruo4xu4}}
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|keywords=弱序, 弱序集, 完全预序, 全序划分
|description=本文介绍弱序的定义、性质和应用，包括弱序作为完全预序的特征以及与等价关系和全序的关系。
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|published_time=2024-03-02
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{{InfoBox
|name=弱序
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|name=弱序集
|eng_name=weakly ordered set
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'''弱序'''('''weak ordering''')指[[集合]]上的一个二元[[关系]]是一个[[完全关系|完全]]的[[预序]]，或者说同时是[[自反关系]]、[[传递关系]]、[[完全关系]]。
元素间存在弱序关系的[[集合]]称为'''弱序集'''('''weakly ordered set''')。

== 定义 ==

对集合 <math>P</math> 上的二元关系 <math>\precsim</math> ，如果是一个预序、且有完全性，即满足：
* 自反性： <math>\forall a \in P (a \precsim a)</math> ；
* 传递性： <math>\forall a \forall b \forall c (a \precsim b \land b \precsim c \rightarrow a \precsim c)</math> ；
* 完全性： <math>\forall a \forall b (a \precsim b \lor b \precsim a)</math> 。
称关系 <math>\precsim</math> 为一个'''弱序'''('''weak order''')。
并称带有弱序关系的集合 <math>(P, \precsim)</math> 为'''弱序集'''('''weakly ordered set''')。

根据使用者的习惯，若序中的关系通常会使用符号 <math>\preceq,\precsim,\leq</math> 之一。

=== 全序划分定义 ===

以下定义与上述定义等价。

对集合 <math>P</math> 上的二元关系 <math>\precsim</math> ，若存在其一个[[划分]] <math>\mathcal{P} = \{P_1, P_2, \dots\}</math> 上的[[全序]] <math>\leq</math> ，
使得 <math>(\forall p_1 \in P_1) (\forall p_2 \in P_2) (p_1 \precsim p_2 \leftrightarrow P_1 \leq P_2)</math> ，则称关系 <math>\precsim</math> 为一个'''弱序'''('''weak order''')。

== 关系图特征 ==

* 弱序中相互成立关系的元素构成[[等价关系]]，每个等价类在关系图中表现为一个团。
* 团之间是一个全序，也就是说集合被分为多个团，每个团是一个层次，每个层次中任意元素向更高层次中任意元素都存在单向边。

== 性质 ==

* 基本特征
** 弱序是自反、传递且完全的二元关系
* 运算性质：
** 弱序的[[交（关系）|交]]'''不一定'''是弱序
** 弱序的[[并（关系）|并]]'''不一定'''是弱序
** 弱序的[[复合（关系）|复合]]仍是弱序
* 弱序集中的特殊元素
** 弱序集中可能存在[[极大元、极小元]]和[[最大元、最小元]]。均可能不唯一，是一个等价类中全体元素。
* 构造方法
** 等价关系和全序的复合是弱序。

== 关联 ==

* 弱序是完全关系的预序。
* 若一个弱序是[[对称关系]]，则其是[[全关系]]。
* 弱序进行[[对称闭包]]会得到全关系。
* 每个弱序都可以诱导一个等价关系：定义 <math>x \sim y</math> 当且仅当 <math>x \precsim y \land y \precsim x</math> 。
** 这个等价关系将弱序集划分为等价类。
** 在等价类集合上，弱序诱导一个全序（这一点预序集仅能保证偏序）。
* 若一个预序是[[反对称关系]]，则其是[[全序]]。也就是不允许两个元素双方向成立关系，此时关系图中的团被消除，每个团只能是单个结点，成为一条链。
** 弱序在等价类上诱导一个全序， 就是弱序在诱导出的等价关系下的商集。
* 每个弱序都可以诱导一个[[严格弱序]]：定义 <math>x \prec y</math> 当且仅当 <math>x \precsim y \land y \not\precsim x</math> 。


{{关系}}
{{二元关系复合类型}}