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[[分类:环与模与域]]
[[分类:环实例]]
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'''形式幂级数环'''('''polynomial ring''')指一个[[环]]，其元素形式类似一般幂级数，包括一个或多个'''不定项'''/'''变元'''，且'''系数'''来自一个环。

形式幂级数环中的元素称为'''形式幂级数'''，是[[多项式环]]中多项式的推广，但是比起[[多项式]]（只能有有限项非零）更像是[[幂级数]]（可以有[[可数]]项非零）。由于我们完全不像考察幂级数一样考察其敛散性，而是忽略敛散性带来的是否可加可乘等问题，直接借助这个像幂级数的形式进行四则运算，因此将其称为“形式”幂级数。

== 定义 ==

对文字 <math>x</math> 及 <math>x^2, x^3, \dots</math> ，将具有形式

<math>a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n + \cdots</math>

的式 <math>f(x)</math> 称为关于变元 <math>x</math> 的'''形式幂级数'''('''formal power series''' in <math>x</math>)。其中 <math>x</math> 称为'''不定项'''('''indeterminant''')或'''变元'''('''variable''')， <math>a_i</math> 称为'''系数'''('''coefficient''')。

对环 <math>\langle R,+,\cdot \rangle</math> ，若 <math>f(x)</math> 中 <math>a_0, a_1, \dots, a_n, \dots \in R</math> ，称为环 <math>R</math> 上关于 <math>x</math> 的'''形式幂级数'''('''formal power series''' in <math>x</math> over <math>R</math> )。为简便起见，可记为 <math>f(x)=\sum_{i=0}^\infty a_i x^i</math> 。

注：与多项式的区别是这里不限制有限个 <math>a_i</math> 不是零元 <math>0_R</math> 。形式幂级数中可以有可数个。

定义'''相等关系'''('''equality''') 为 <math>\sum_{i=0}^\infty a_i x^i = \sum_{i=0}^\infty b_i x^i \leftrightarrow (\forall i\leq 0)(a_i = b_i)</math> 。据此将 <math>R</math> 上关于 <math>x</math> 的所有形式幂级数所构成的集合记为 <math>R[[x]]</math> 。

定义形式幂级数的'''加法'''('''addition''')为二元运算 <math>+:R[x]\times R[x]\to R[x]</math> ，将 <math>\sum_{i=0}^\infty a_i x^i \in R[x]</math> 和 <math>\sum_{i=0}^\infty b_i x^i \in R[x]</math> 映射到 <math>\sum_{i=0}^\infty (a_i + b_i) x^i \in R[x]</math> ，也就是系数的对应相加。

定义形式幂级数的'''乘法'''('''multiplication''')为二元运算 <math>\cdot: R[x]\times R[x] \to R[x]</math> ，将 <math>\sum_{i=0}^\infty a_i x^i \in R[x]</math> 和 <math>\sum_{i=0}^\infty b_i x^i \in R[x]</math> 映射到 <math>\sum_{i=0}^\infty (\sum_{k=0}^i a_k b_{i-k}) x^i \in R[x]</math> ，也就是系数的[[离散卷积]]，相当于级数上的 [[Cauchy 乘积]]。

则可以证明对环 <math>R</math> 上关于变元 <math>x</math> 的形式幂级数集合 <math>R[[x]]</math> 关于形式幂级数的加法和乘法构成一个环。称为环 <math>R</math> 上关于变元 <math>x</math> 的'''形式幂级数环'''('''ring of formal power series''' in <math>x</math> over <math>R</math> )。


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