形式幂级数环
| 形式幂级数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 形式幂级数 |
| 英语名称 | formal power series |
| 形式幂级数环 | |
|---|---|
| 术语名称 | 形式幂级数环 |
| 英语名称 | ring of formal power series |
| 系数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 系数 |
| 英语名称 | coefficient |
形式幂级数环(polynomial ring)指一个环，其元素形式类似一般幂级数，包括一个或多个不定项/变元，且系数来自一个环。
形式幂级数环中的元素称为形式幂级数，是多项式环中多项式的推广，但是比起多项式（只能有有限项非零）更像是幂级数（可以有可数项非零）。由于我们完全不像考察幂级数一样考察其敛散性，而是忽略敛散性带来的是否可加可乘等问题，直接借助这个像幂级数的形式进行四则运算，因此将其称为“形式”幂级数。
定义
对文字 [math]\displaystyle{ x }[/math] 及 [math]\displaystyle{ x^2, x^3, \dots }[/math] ，将具有形式
[math]\displaystyle{ a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n + \cdots }[/math]
的式 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] 称为关于变元 [math]\displaystyle{ x }[/math] 的形式幂级数(formal power series in [math]\displaystyle{ x }[/math])。其中 [math]\displaystyle{ x }[/math] 称为不定项(indeterminant)或变元(variable)， [math]\displaystyle{ a_i }[/math] 称为系数(coefficient)。
对环 [math]\displaystyle{ \langle R,+,\cdot \rangle }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] 中 [math]\displaystyle{ a_0, a_1, \dots, a_n, \dots \in R }[/math] ，称为环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 上关于 [math]\displaystyle{ x }[/math] 的形式幂级数(formal power series in [math]\displaystyle{ x }[/math] over [math]\displaystyle{ R }[/math] )。为简便起见，可记为 [math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{i=0}^\infty a_i x^i }[/math] 。
注：与多项式的区别是这里不限制有限个 [math]\displaystyle{ a_i }[/math] 不是零元 [math]\displaystyle{ 0_R }[/math] 。形式幂级数中可以有可数个。
定义相等关系(equality) 为 [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^\infty a_i x^i = \sum_{i=0}^\infty b_i x^i \leftrightarrow (\forall i\leq 0)(a_i = b_i) }[/math] 。据此将 [math]\displaystyle{ R }[/math] 上关于 [math]\displaystyle{ x }[/math] 的所有形式幂级数所构成的集合记为 [math]\displaystyle{ R[[x]] }[/math] 。
定义形式幂级数的加法(addition)为二元运算 [math]\displaystyle{ +:R[x]\times R[x]\to R[x] }[/math] ，将 [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^\infty a_i x^i \in R[x] }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^\infty b_i x^i \in R[x] }[/math] 映射到 [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^\infty (a_i + b_i) x^i \in R[x] }[/math] ，也就是系数的对应相加。
定义形式幂级数的乘法(multiplication)为二元运算 [math]\displaystyle{ \cdot: R[x]\times R[x] \to R[x] }[/math] ，将 [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^\infty a_i x^i \in R[x] }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^\infty b_i x^i \in R[x] }[/math] 映射到 [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^\infty (\sum_{k=0}^i a_k b_{i-k}) x^i \in R[x] }[/math] ，也就是系数的离散卷积，相当于级数上的 Cauchy 乘积。
则可以证明对环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 上关于变元 [math]\displaystyle{ x }[/math] 的形式幂级数集合 [math]\displaystyle{ R[[x]] }[/math] 关于形式幂级数的加法和乘法构成一个环。称为环 [math]\displaystyle{ R }[/math] 上关于变元 [math]\displaystyle{ x }[/math] 的形式幂级数环(ring of formal power series in [math]\displaystyle{ x }[/math] over [math]\displaystyle{ R }[/math] )。