查看“︁循环群”︁的源代码

[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=循环群
|eng_name=cyclic group
|aliases=monogenous group
}}
{{InfoBox
|name=循环子群
|eng_name=cyclic subgroup
}}
{{InfoBox
|name=生成
|eng_name=generate
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|name=生成元
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|name=有限循环群
|eng_name=finite cyclic group
|aliases=cyclic group
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|name=无限循环群
|aliases=infinite cyclic group
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'''循环群'''('''cyclic group''')指一个[[群]]被一个元素生成。或者说，群中所有元素都由某元素或逆[[逆元]]不断运算所可能得到的全部元素。

有限循环群同构于[[模 n 剩余类加法群]]，而无限循环群同构于[[整数加群]]。循环群是最简单的[[有限生成群]]。

== 定义 ==

对群 <math>G</math> 及元素 <math>g\in G</math> ，其生成的群 <math>\langle g \rangle = \{g^k \mid k \in \mathbb{Z}\}</math> 是 <math>G</math> 的子群，称为群 <math>G</math> 的一个'''循环子群'''('''cyclic subgroup''')，若存在群 <math>G</math> 的循环子群是 <math>G</math> 自身，则称群 <math>G</math> 是一个'''循环群'''('''cyclic group''')，此时称元素 <math>g</math> '''生成'''('''generate'''s)这个群，并称元素 <math>g</math> 为群 <math>G</math> 的一个'''生成元'''('''generator''')。

特别地，[[阶（群）]]为 <math>n</math> 的循环群称为 '''<math>n</math> 阶循环群'''，常记作 <math>C_n</math> 。

== 性质 ==

[[质数]]阶的群一定是循环群。

有限循环群同构于模 <math>n</math> 剩余类加法群 <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> ，无限循环群同构于整数加群 <math>\mathbb{Z}</math> 。这使得任意循环群都能通过这两个常见群进行研究。

循环群总是[[交换群]]。

=== 元素的阶 ===

* <math>n</math> 阶有限[[循环群]]，其生成元的阶也是 <math>n</math> ，反过来，阶是 <math>n</math> 的元素就是生成元。
** 记一个生成元为 <math>g</math> ，则 <math>g, g^2, g^3, \dots, g^n=e</math> 会遍历整个循环群的所有元素。
* <math>g^k</math> 的阶是 <math>n/\operatorname{gcd}(n,k)</math> 。
** 循环群中有 <math>\varphi(n)</math> 个不同的生成元。其中 <math>\varphi</math> 是 [[Euler 函数]]。
** 若存在阶为 <math>d</math> 的元素，必有 <math>d\mid n</math> ，且 <math>d</math> 阶元素一定有 <math>\varphi(d)</math> 个。

=== 子群 ===

循环群的任意[[子群]]都是循环群，因此是交换群并进而是[[正规子群]]，其阶数是群阶数的因子。循环群对任意（正规）子群的[[商群]]仍然是循环群。

任意子群都一定能表示为 <math>G^m=\{g^m\mid g\in G\}</math> ，其中 <math>m</math> 是正整数。

反过来，对任意 <math>d\mid n</math> ，都存在唯一 <math>d</math> 阶子群。
* 因此，有限循环群一定有 <math>\tau(n)</math> 个子群。其中 <math>\tau</math> 是[[除数函数]]。

循环群是[[单群]]当且仅当其阶数是质数。

=== 自同构 ===

质数阶循环群的全体自同构满足 <math>\mathrm{Aut}(C_p) \cong C_{p-1}</math> ，而无限阶则仅有恒等映射和逆映射两个自同构。


{{群论}}