循环群
| 循环群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 循环群 |
| 英语名称 | cyclic group |
| 别名 | monogenous group |
| 循环子群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 循环子群 |
| 英语名称 | cyclic subgroup |
| 生成 | |
|---|---|
| 术语名称 | 生成 |
| 英语名称 | generate |
| 生成元 | |
|---|---|
| 术语名称 | 生成元 |
| 英语名称 | generator |
| 有限循环群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 有限循环群 |
| 英语名称 | finite cyclic group |
| 别名 | cyclic group |
| 无限循环群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 无限循环群 |
| 英语名称 | |
| 别名 | infinite cyclic group |
循环群(cyclic group)指一个群被一个元素生成。或者说，群中所有元素都由某元素或逆逆元不断运算所可能得到的全部元素。
有限循环群同构于模 n 剩余类加法群，而无限循环群同构于整数加群。循环群是最简单的有限生成群。
定义
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 及元素 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math] ，其生成的群 [math]\displaystyle{ \langle g \rangle = \{g^k \mid k \in \mathbb{Z}\} }[/math] 是 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的子群，称为群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的一个循环子群(cyclic subgroup)，若存在群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的循环子群是 [math]\displaystyle{ G }[/math] 自身，则称群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 是一个循环群(cyclic group)，此时称元素 [math]\displaystyle{ g }[/math] 生成(generates)这个群，并称元素 [math]\displaystyle{ g }[/math] 为群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的一个生成元(generator)。
特别地，阶（群）为 [math]\displaystyle{ n }[/math] 的循环群称为 [math]\displaystyle{ n }[/math] 阶循环群，常记作 [math]\displaystyle{ C_n }[/math] 。
性质
质数阶的群一定是循环群。
有限循环群同构于模 [math]\displaystyle{ n }[/math] 剩余类加法群 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} }[/math] ，无限循环群同构于整数加群 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] 。这使得任意循环群都能通过这两个常见群进行研究。
循环群总是交换群。
元素的阶
- [math]\displaystyle{ n }[/math] 阶有限循环群，其生成元的阶也是 [math]\displaystyle{ n }[/math] ，反过来，阶是 [math]\displaystyle{ n }[/math] 的元素就是生成元。
- 记一个生成元为 [math]\displaystyle{ g }[/math] ，则 [math]\displaystyle{ g, g^2, g^3, \dots, g^n=e }[/math] 会遍历整个循环群的所有元素。
- [math]\displaystyle{ g^k }[/math] 的阶是 [math]\displaystyle{ n/\operatorname{gcd}(n,k) }[/math] 。
- 循环群中有 [math]\displaystyle{ \varphi(n) }[/math] 个不同的生成元。其中 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] 是 Euler 函数。
- 若存在阶为 [math]\displaystyle{ d }[/math] 的元素，必有 [math]\displaystyle{ d\mid n }[/math] ，且 [math]\displaystyle{ d }[/math] 阶元素一定有 [math]\displaystyle{ \varphi(d) }[/math] 个。
子群
循环群的任意子群都是循环群，因此是交换群并进而是正规子群，其阶数是群阶数的因子。循环群对任意（正规）子群的商群仍然是循环群。
任意子群都一定能表示为 [math]\displaystyle{ G^m=\{g^m\mid g\in G\} }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ m }[/math] 是正整数。
反过来，对任意 [math]\displaystyle{ d\mid n }[/math] ，都存在唯一 [math]\displaystyle{ d }[/math] 阶子群。
- 因此，有限循环群一定有 [math]\displaystyle{ \tau(n) }[/math] 个子群。其中 [math]\displaystyle{ \tau }[/math] 是除数函数。
循环群是单群当且仅当其阶数是质数。
自同构
质数阶循环群的全体自同构满足 [math]\displaystyle{ \mathrm{Aut}(C_p) \cong C_{p-1} }[/math] ，而无限阶则仅有恒等映射和逆映射两个自同构。