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[[分类:关系]]{{DEFAULTSORT:heng4deng3guan1xi5}}
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|keywords=恒等关系
|description=本文介绍恒等关系的数学定义、基本性质及其在关系运算中的核心作用，强调其作为最细化的等价关系以及在关系复合中作为单位元的特性。
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|published_time=2023-04-22
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{{InfoBox
|name=恒等关系
|eng_name=identity relation
|aliases=diagonal relation
}}
'''恒等关系'''('''identity relation''')是指[[集合]]上的一个二元[[关系]]。恒等关系中，集合中两元素有关系当且仅当两元素相同。

== 定义 ==

{{Identity
|name=恒等关系
|symbol=<math>I</math>,<math>\Delta</math>
|latex=I,\Delta
|type=关系
}}
对集合 <math>A</math> 上的二元关系 <math>R</math>，若 <math>R = \left\{(a, a) \mid a \in A \right\}</math> ，称 <math>R</math> 是 <math>A</math> 上的'''恒等关系'''('''identity relation''')，记作 <math>I_A</math>。
当讨论的问题不限于具体集合时，可以省略下标。

注：英文文本中，也叫 diagonal relation ，记作 <math>\Delta_A</math> ，中文语境几乎没有人使用。

== 性质 ==
* 恒等关系只能定义在二元的齐次关系上。
* 表示
** 恒等关系的关系图中，每个结点上都有自环，但是没有连结不同结点的边；
** 恒等关系的关系矩阵是[[单位矩阵]]；
* 运算性质
** 恒等关系的[[对偶关系]]仍是恒等关系；
** 恒等关系是[[复合（关系）|复合运算]]的[[幺元]]。与任意关系的左复合和右复合都是保持后一关系不变（若可复合）。
** 恒等关系的[[幂关系|幂]]是恒等关系。
* 恒等关系符合的二元关系性质：
** [[自反关系]]
** [[对称关系]]、[[反对称关系]]：如果一个关系同时对称和反对称，则其一定是恒等关系的子集
** [[传递关系]]
** 是一种[[等价关系]]。在恒等关系中，每个等价类都是[[单元素集]]，每个元素只和其自身等价。是最“细化”的等价关系。

== 举例 ==

* 任何数学结构中，元素的相等关系都是恒等关系。
** 如集合 <math>A = \{1,2,3\}</math> 上的恒等关系是 <math>I_A = \{(1,1),(2,2),(3,3)\}</math>


{{关系}}