恒等关系

恒等关系
术语名称	恒等关系
英语名称	identity relation
别名	diagonal relation

恒等关系(identity relation)是指集合上的一个二元关系。恒等关系中，集合中两元素有关系当且仅当两元素相同。

定义

恒等关系
对象名称	恒等关系
对象记号	[math]\displaystyle{ I }[/math],[math]\displaystyle{ \Delta }[/math]
Latex	I, \Delta
对象类别	关系

对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math]，若 [math]\displaystyle{ R = \left\{(a, a) \mid a \in A \right\} }[/math] ，称 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上的恒等关系(identity relation)，记作 [math]\displaystyle{ I_A }[/math]。 当讨论的问题不限于具体集合时，可以省略下标。

注：英文文本中，也叫 diagonal relation ，记作 [math]\displaystyle{ \Delta_A }[/math] ，中文语境几乎没有人使用。

性质

• 恒等关系只能定义在二元的齐次关系上。
• 表示
  • 恒等关系的关系图中，每个结点上都有自环，但是没有连结不同结点的边；
  • 恒等关系的关系矩阵是单位矩阵；
• 运算性质
  • 恒等关系的对偶关系仍是恒等关系；
  • 恒等关系是复合运算的幺元。与任意关系的左复合和右复合都是保持后一关系不变（若可复合）。
  • 恒等关系的幂是恒等关系。
• 恒等关系符合的二元关系性质：
  • 自反关系
  • 对称关系、反对称关系：如果一个关系同时对称和反对称，则其一定是恒等关系的子集
  • 传递关系
  • 是一种等价关系。在恒等关系中，每个等价类都是单元素集，每个元素只和其自身等价。是最“细化”的等价关系。

举例

• 任何数学结构中，元素的相等关系都是恒等关系。
  • 如集合 [math]\displaystyle{ A = \{1,2,3\} }[/math] 上的恒等关系是 [math]\displaystyle{ I_A = \{(1,1),(2,2),(3,3)\} }[/math]

关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
二元齐次关系类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]
	闭包运算	自反 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math]、对称 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^\sim }[/math]、传递 [math]\displaystyle{ \operatorname{t}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^+ }[/math]、自反传递 [math]\displaystyle{ \bullet^* }[/math]、等价 [math]\displaystyle{ \bullet^\equiv }[/math]