恒等关系

恒等关系
术语名称	恒等关系
英语名称	identity relation

恒等关系(identity relation)是指集合上的一个二元关系，当且仅当涉及的两元素相同时有关系。

定义

恒等关系
对象名称	恒等关系
对象记号	[math]\displaystyle{ I }[/math]
Latex	I
对象类别	关系

对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math]，若 [math]\displaystyle{ R = \left\{ \langle x, x \rangle \mid x \in A \right\} }[/math] ，称 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上的恒等关系(identity relation)，记作 [math]\displaystyle{ I_A }[/math]。当讨论的问题不限于具体集合时，可以省略下标。

性质

空关系的关系矩阵是单位矩阵。

对任意 [math]\displaystyle{ x, y \in A }[/math] 有 [math]\displaystyle{ x R y \leftrightarrow x = y }[/math]。

关系/二元关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	基础运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	函数性运算	对偶（转置、逆） [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]